福建省南安市柳城中学2025届高二上数学期末经典模拟试题含解析

福建省南安市柳城中学2025届高二上数学期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A.1 B.2C. D.2．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()A. B.C. D.3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.4．已知是公差为3的等差数列.若，，成等比数列，则的前10项和（）A.165 B.138C.60 D.305．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A. B.C. D.6．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A. B.C. D.7．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.8．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1C. D.9．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）A. B.C.或 D.或10．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）A. B.C. D.11．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.＋1 D.12．已知等差数列为其前项和，且，且，则（）A.36 B.117C. D.13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若椭圆的一个焦点为，则p的值为______14．直线与直线平行，则m的值是__________15．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答）16．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为______.类别老年教师中年教师青年教师合计人数900180016004300三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形（1）证明：是中点；（2）求点到平面的距离18．（12分）已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.（1）若p为真，求实数t的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围19．（12分）已知椭圆经过点，左焦点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.20．（12分）已知圆C：，直线l：.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.21．（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.22．（10分）直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，故选：B.2、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线，∴，又，∴，∵离心率为，∴，解得，∴双曲线方程.故选：D.3、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.4、A【解析】由等差数列的定义与等比数列的性质求得首项，然后由等差数列的前项和公式计算【详解】因为，，成等比数列，所以，所以，解得，所以故选：A5、B【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，其面积，圆的面积为则所求概率.故选：B【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.6、D【解析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；因为，所以B中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，解得，，所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.故选：D7、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.8、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得，，，，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离为故选：B9、C【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为，所以所求抛物线的方程为.故选：C.10、A【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值详解】解：即为，两边平方，可得，即有，则作出曲线的图形，如下：则点与点或的距离最小，且为故选：A11、A【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.12、B【解析】根据等差数列下标的性质，，进而根据条件求出，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，，即为递增数列，所以，又，又，联立方程组解得：.于是，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】利用椭圆标准方程概念求解【详解】因为焦点为，所以焦点在y轴上，所以故答案：314、【解析】利用直线的平行条件即得.详解】∵直线与直线平行，∴，∴.故答案为：.15、2022【解析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即，当时，，则系数是，故答案为：202216、【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.故答案为.考点：分层抽样.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明出平面，可得出，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明：在正三棱柱，平面，平面，则，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，则平面，平面，所以，，因为为等边三角形，故点为的中点.【小问2详解】解：因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，则，即，所以，，，，设点到平面的距离为，，，解得.因此，点到平面距离为.18、（1）（2）【解析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.【小问1详解】因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则有，解得，所以实数t的取值范围是.【小问2详解】，则有，当且仅当，即时取“=”，即，因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，因为假命题，且为真命题，则与一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，所以实数t的取值范围是.19、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义求出的值，由求出，代入，得到椭圆的方程；（Ⅱ）由点斜式求出直线的方程，设，联立直线与椭圆方程，求出的值，再算出的面积试题解析（Ⅰ）由椭圆的定义得：又，故，∴椭圆的方程为：.（Ⅱ）过的直线方程为，，联立，设，则，∴的面积.点睛：本题主要考查了求椭圆的方程，直线与椭圆相交时弦长的计算等，属于中档题．在（Ⅱ）中，注意的面积的计算公式20、（1）；（2）或.【解析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.【小问1详解】由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.【小问2详解】由（1）知：圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，则直线为或.21、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.【小问1详解】解：由抛物线定义可知：，解得：，∴C的方程为；【小问2详解】解：设，则，两式作差得，∴直线l的斜率，∵为的中点，∴，∴，∴直