黑龙江省齐齐哈尔市某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

黑龙江省齐齐哈尔市桃李中学2023-2024学年高一下学期期末

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知i为虚数单位，meR,若复数（2-。（根+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复

数N的模为（）

1-1

J21I-

A.—B.-C.J2D.2

22

2.某班最近一次化学考试成绩（百分制）按［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、

［90,100］分成六组后，得到频率分布直方图如图所示.若化学老师欲将大家的成绩由高到低排

列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师奖励的学生的分数应不低于（）

C.77分D.79分

3.上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时〜14

时，14时〜15时，…，20时〜21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）

累”入园人数/力人

A.13时〜14时B.16时〜17时C.18时〜19时D.19时〜20时

4.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中后，

NNBC=6（）。.若将它们的斜边/8重合，让三角形42。以为轴转动，则下列说法不正确

试卷第1页，共6页

的是

D

A.当平面平面/BC时，C,。两点间的距离为近

B.当平面A8D_L平面/3C时，CD与平面/8C所成的角为45。

C.在三角形48。转动过程中，总有LCD

D.在三角形N5D转动过程中，三棱锥D-/3C的体积最大可达到土

6

5.如图，正方体44GA的棱长为3,点尸是平面43内的动点，”,N分别为G2,

4C的中点，若直线BP与所成的角为6,且sinO=YS,则动点P的轨迹所围成的图

形的面积为（）

6.现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到4民C三个不同的社区参加公益活动，每个社区至

少分配一名同学.设事件A="恰有两人在同一个社区“，事件8="甲同学和乙同学在同一个

社区"，事件C="丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（）

A.事件A与8相互独立B.事件A与8是互斥事件

C.事件8与C相互独立D.事件8与。是对立事件

7.44BC中，AB=AC=>f2>ABAC=90°,将2MBC沿2c上的高4D折成直二面角B-AD-C,

则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为

A.万B.屈兀C.3万D.2万

试卷第2页，共6页

jr_____

8.在V/5C中，AB=2,BC=\,ZABC=—,若点M满足画7=2加，则万7•就=()

124

A.-B.-C.1D.—

233

二、多选题

9.下列叙述中，正确的是（）

A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么

学号为04的学生被抽到的可能性为40%

B.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层随机抽样的方

法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一、二、三、

四年级本科生人数之比为8:5:4%,若从四年级中抽取75名学生，则后=3

C.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数

据的平均数为2,方差为2.4,则这组数据可能出现6

D.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8（其中xw7）,若该组数据的

中位数是众数的。倍，则该组数据的平均数是5

4

10.已知函数/（x）=-2sin2%+sin2%+l,则（）

A./（X）的图象可由y=V^sin2x的图象向右平移/个单位长度得到

O

B.“X）在上单调递增

C./（X）在［0,句内有2个零点

D./（X）在-^,0上的最大值为行

11.如图，矩形N2CO中，48=240,E是边4B的中点，将A4DE沿直线DE翻折成A4/DE

（点4不落在底面8CDE内），连接/由、AiC.若M为线段的中点，则在A4DE的翻

折过程中，以下结论正确的是（）

试卷第3页，共6页

A.8M〃平面N/DE恒成立

B.匕4-4DE：^Af-BCDE=1：3

C.存在某个位置，使DE，4c

D.线段的长为定值

三、填空题

12.设实数x,y(4<x<y),满足1,3,4,x,y,y+2的平均数与50%分位数相等，则

数据x,乃>+2的方差为.

13.一个古典概型的样本空间。和事件A和B,其中“(Q)=24,〃(/)=12,"(3)=8,

n(AuB)=16,则尸(/8)=.

14.如图，在棱长为3的正方体N3CD-44GA中，点尸是平面48G内一个动点，且满

足PD+尸4=2+而，则点尸的轨迹长度为.

四、解答题

15.某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机

抽样的方法，得到一个容量为200的样本，统计数据如下：

认为作业多认为作业不多总数

试卷第4页，共6页

喜欢电脑游戏72名36名108名

不喜欢电脑游戏32名60名92名

(1)已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为

作业不多的人有多少名？

(2)在A,B,C,D,E,尸六名学生中，仅有A,8两名学生认为作业多，如果从这

六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率.

16.如图，在平面四边形A8CD中，AB=AD,BC=CD=亚,且8CLCD,以8。为折

痕把△ARD和△C5D向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点厂的位置(£、尸不

重合).

⑴求证：EF1BD；

⑵若平面平面尸8。，点£在平面48CD内的正投影G为△48。的重心，且直线E尸

与平面FBD所成角为60°,求平面ABE与平面BED的夹角的余弦值.

17.甲、乙两个学校分别有〃+1位同学和〃位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率

都是二,所有同学是否成功互不影响.记事件/="甲成功次数比乙成功次数多一次“，事件

8="甲成功次数等于乙成功次数”.

(1)若〃=3,求事件/发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；

(2)证明:尸(4)=尸⑻.

18.如图，在四棱柱-44GA中，已知平面/4GC,平面/BCO,且

AB=BC=CA=EAD=CD=1.

试卷第5页，共6页

⑵若E为棱BC上的一点，且/£〃平面。CGQ,求线段8E的长度

19.某城市为配合国家“一带一路”倡议，发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸

直线乙与4修建景观(桥)，如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域/BCD内沿直线

将<与4接通.己知/8=60cm,8c=8057,河道两侧的景观道路修复费用为每米1万元，

架设在河道上方的景观桥EF部分的修建费用为每米2万元.

(1)若景观桥长120机时，求桥与河道所成角的大小；

(2)如何景观桥跖的位置，使矩形区域N8C。内的总修建费用最低？最低总造价是多少？

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案CCBCAACCBDBC

题号11

答案ABD

1.C

【分析】由复数的运算公式可得(2-。(加+。=2加+1+(2-加"，结合复数的几何意义可得

2-m=0,即加=2；则，=卢=-1+"由复数模的计算公式计算可得答案.

1-z1-1

【详解】根据题意，(2-)(加+。=2加+1+(2-机"，

若复数(2-z)(m+z)在复平面内对应的点位于实轴上，

则有2-加=0,即机=2；

mi2i..用“士mirz

则;；=-1+7,贝！I有~;=<2,

1-z1-z1-z

故选：C.

【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，关键是求出加的值，属于基础题.

2.C

【分析】根据频率分布直方图所有矩形面积之和为1求出“的值，然后利用频率分布直方图

计算出第61百分位数，即可得解.

【详解】易得(0.010+0.015+0.015+4+0.025+0.005)x10=1,解得。=0.030,

化学考试成绩在［40,70)内的频率为(0.01+0.015x2)x10=0.4,

化学考试成绩在［40,80)内的频率为0.4+0.03x10=0.7,

所以，第61百分位数一定位于［70,80)内.

设第61百分位数为x,贝ij0.4+(x-70)x0.03=0.61,解得尤=77,

所以估计化学老师奖励的学生的分数应不低于77分.

故选：C.

3.B

【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可

【详解】结合函数的图象可知，在13时〜14时，14时〜15时，…，20时〜21时八个时段中,

答案第1页，共14页

图象变化最快的为16到17点之间

故选：B.

【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.

4.C

【分析】A选项，结合图像，利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的

一半求解；

B选项，先作出CD与平面ABC所成的角，再求得其为45°；

C选项用反证法，假设垂直,根据线面垂直的判定与性质推到是否可能，从而得出结论；

D选项根据棱锥的体积公式，在底面积不变的情况下，体积的大小取决于高,当平面，平

面N3C时,高最大，求出即可.

【详解】

A选项，取N8中点。，连接QO,CO,

AD=BD=y/l,DO=1,AB=2,0C=1,

:平面ABD_L平面ABC,DO_LAB,，DO_L平面ABC,DO±OC,

•1•DC=V2,A选项正确；

B选项，接续选项A中的结论：DO,平面ABC,故/DCO就是CO与平面N8C所成

的角，因为DO=CO,所以NDCO=45。,所以B选项正确；

C选项，若AB_LCD,则AB_L平面©口0八8_10(2,；0为中点,，人©=8€：,/8人©=45。

与NBAC=30。矛盾,；.C选项错误；

D选项，当DOJ_平面ABC时,棱锥的高最大，此时V腌

=-x—XACXBC><DO=-xV3xlxl=—.D选项正确.

3266

答案第2页，共14页

故选：c.

【点睛】本题主要考查空间线面位置关系和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握

水平和空间想象能力，解答类似空间真假命题的判断,方法比较灵活，有的可以举反例,有的可

以反证，有的可以直接证明.

5.A

【分析】连接82，BQ,得到把3P与血W所成的角就是直线与8,所成

的角，在正方体/3CO-44GA中，证得3D1平面4c可，得到/尸8。=6,设2,与平面

/C4的交点为G,连接尸G,结合题意，得到点尸的轨迹是以G为圆心，!为半径的圆，

根据圆的面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，连接瓦九8G，则N为5。的中点，又刊为GR的中点，所以肱V/〃A，

因此直线BP与VN所成的角就是直线8P与夕口所成的角，

在正方体ABCD-44G4中,可得NC_Z,8Z),

因为。2_L平面48CD,/Cu平面48CZ),可得/(7_1_叩，

又因为BD口=。且BD,DDlu平面BDDE,所以/C，平面BDD^,

因为BRu平面所以同理可得

因为/Cc48]=N,且u平面4CB一所以平面则/尸8。=6.

设3,与平面/C4的交点为G,连接尸G,所以80，尸G,

在直角△尸G3中，tan0=――,因为sin8=4^,所以tan6=M7=q，

BG5BG2

又由==gxj32+32+32=6,所以尸G=等，

所以点尸的轨迹是以G为圆心，旦为半径的圆，其面积为兀“(也)2=型.

224

故选：A.

答案第3页，共14页

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.

【详解】对于A,依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件A是必然事件，

尸⑷=1,

A31

显然8=/,尸(43)=尸(3)=总7=展=尸(/)尸(3),因此事件A与8相互独立，A正确；

对于B,由P(/3)=,，得事件A与8不是互斥事件，B错误；

6

对于C,显然事件事件B与C不可能同时发生，即P(8C)=0,而P(C)=P(2)=，，事件B与

c相互不独立，C错误；

对于D,显然事件5与。可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件8与C不是对立事

件，D错误.

故选：A

7.C

【分析】根据题意可知三棱锥2-NCD的三条侧棱2。、DC、两两互相垂直，所以它的

外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥B-ACD的外接球的表面积.

【详解】根据题意可知三棱锥2-4CO的三条侧棱2。、DC、。/两两互相垂直，

所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，

:长方体的对角线的长为：&7币=6，

...球的直径是右，半径为必，

2

三棱锥3-/CD的外接球的表面积为：4兀=3TI.

【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，

这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借

答案第4页，共14页

助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的

外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,

然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），

这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到

底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂

直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

8.C

【分析】根据向量的数量积公式和向量转化为基地进行表示即可求解.

［详解］AM-AC=-^BA-（BC-BA）

1-----------1—-2

=——BA-BC+-BA

33

2

=-；网.时.cosZABC+（陋|

二——1x2cxl,x—1+—1xc22=,1.

323

故选：C.

9.BD

【分析】根据频率判断A,根据抽样比，列出方程，求出左，即可判断B；假设这组数据有

6,得到方差的取值特征，即可判断C；求出众数，中位数，平均数，即可判断D.

【详解】对于A：•.•学号为04的学生被抽到的可能性为1=10%,.・.A错误;

75k

对于B：：抽样比为藐8+5+4+左，k=3,B正确;

对于C：若这组数据有6,则方差S?2变立=3>2.4,...C错误;

55

对于D：：数据从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8（其中xw7）,

则中位数为手，众数为4,

士=4x3,；.x=6,

24

1+4+4+6+7+8匚

该组数据的平均数是-----------------------=5,.'.D正确.

6

故选：BD.

10.BC

【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判

答案第5页，共14页

断；D.求出函数的最大值来判断;

【详解】由题得/(%)=一25]!12%+511121+1=(\)521+51112'=\^sin卜+,

由尸V2sin2x的图象向右平移*个单位长度，得到了=V2sin2f=亚sin[2x-的图

象，所以选项A错误；

令2左》一工*2x+—•2k7r+—,kGZ,

'242

37r7T

得其增区间为k兀一G兀+《，kwZ,

OO_

所以/'(X)在，,上单调递增，所以选项B正确；

令/(%)=0得2%+?=左匹左£Z,

得》=细一工，左eZ,又xe[O,句.

28

3n

所以X可取9,W77r，即有2个零点，所以选项C正确；

OO

3兀兀.I.71

由xe----,0得2xH—e—,—,sin2xH—G

_2」44414-仁

所以〃x)e[-行,1],所以选项D错误.

故选：BC.

11.ABD

【分析】对A,取CD中点尸，连接M凡BF,即可证明；

对B,分别计算七一他£,^A1-BCDE证明即可；

对C,由4c在平面48CD中的射影在/C上，再判断即可；

对D,在AMFB中利用余弦定理证明即可

【详解】解：取CD中点R连接板，BF,如图所示，

则血值〃4D,FB//DE,则可得平面〃〃平面N/DE,

答案第6页，共14页

平面AffiRBMQ平面出DE,

C.BM//A1DE,故/选项正确，

设4到平面EBCD的距离为h,。到AB的距离为h',

则匕I-4QE：「A-BCDE=飞义3/DEX人：（1石四边形EBCo"]

=SJDE：际边形£BC°=；x/Ex"：；x（CD+BE）x»=1:3,故8选项正确，

N/C在平面/BCD中的射影在/C上，

与。E不垂直，二。£与出。不垂直，故。选项错误，

NMFB=ZAiDE=45°,

又：由余弦定理，可得MB?=MF2+FB2-2MF・FB・cos/MFB,且MF,F2为定值,

：.MB为定值.

故选：ABD.

12.普/吟

【分析】利用平均数与分位数相等，得V=x+1,代入数据中得方差.

【详解】根据题意，数据1,3,4,x,y,y+2的平均数为匕出誓也出.

数据1,3,4,久,y,y+2的50%分位数为妥,

・l+3+4+%+y+y+2_4+x

)•—«即y=x+1,代入数据居y,y+2,

62

4

X+-

即为居%+1,%+3,此组数据的平均数为计计一+33

数据%,y,y+2的方差为++(%+3-]-[)]='|义

_14

故答案：—

/、n（AB）

【分析】由尸（45）=母音求解即可

【详解】-：n(A)=12,"3)=8,n(AuB)=16,

n（AB）=力（2）+〃（8）_〃（/03）=4,

答案第7页，共14页

/、n（AB}41

1777（Q）246

故答案为：

6

14.2万

【分析】连接用。，首先证明为平面43C],设耳。C平面4BG=E,连接尸£、BE,

即可得到三棱锥片-MB。为正三棱锥，求出耳£、DE,再利用勾股定理表示PD+P4,即

可得到P£=l,从而得到轨迹长.

【详解】解：连接8自，因为四边形4耳。2为正方形，则42,4G，

QDD11平面AXBXCXDX,4GU平面4区GA,则4cl1DDX,

因为BQPPA=A，U平面B,DDI,4G_L平面B'DDi,

,/BXDu平面B、DD[,BXD_L4G,

同理可证-：AxBr\AxCx=Ax,4B，4Gu平面&BG，与。_L平面43。,

设5Qc平面45G=£,连接尸£、BE,

因为43=BC]=4G=3后，44=BB[=BG，所以三棱锥用一48cl为正三棱锥,

则E为v4g的中心，则2*=屈,且V4BC]内切圆的半径

1DZ7V6

4=—D£j=--------

22

2

所以gE=个BB；-BE=6,BXD=373,DE=BXD-BtE=273,

B、D1平面AXBCX,PEu平面AXBCX,PE1BtD,即BXE1PE,DEPE,

因为尸。+尸4=2+旧，即1PE。+12JPE?+3=2+而，vPE>0,解得尸E=l,

所以点尸的轨迹是半径为1的圆，因为外＞1,所以点尸的轨迹长为2xlx%=2万.

答案第8页，共14页

故答案为：2n

3

15.（1）7650；（2）

【分析】（1）根据表中数据计算200名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的概率再乘以

42500即可求解；

（2）求出从六名学生中随机抽取两名包含的基本事件的个数以及至少有一名学生认为作业

多包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求解.

【详解】（1）200名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的概率为券=言，

9

所以高二学生总体中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有42500x^=7650名；

（2）从A,B,C,D,E,尸六名学生中，随机抽取两名，

基本事件有（48）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（4尸）,（及C）,（尻。），归本）,（民尸）,

（C,D）,（C,E）,（C,尸）,（£）,£）,（D,F）,（E,F）,共有15个,

至少有一名学生认为作业多包含的基本事件有：（43）,（4C）,（4。），（/少）,（4厂）,

（B,C）,,（B,E）,（瓦尸）,共有9个，

93

所以至少有一名学生认为作业多的概率为

16.（1）证明见解析;

【分析】（1）取8。的中点。，连接尸。和EO,利用线面垂直的判定定理，证得平面

EFO,即可得到EF_LBZ）；

（2）由（1）得到以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-斗，分别求得平面和平

面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

答案第9页，共14页

E

D

取的中点。，连接尸。和EO,

由题意知AFBD和VBDE均为等腰三角形，且5尸=DF,BE=ED,

故F。_LAD,EO_LBD

又因为尸OcEO=。，

所以AD1平面E尸。,

又因为跖u平面MO,

所以跖_L8D

(2)由(1)知，EO1BD,

又因为平面平面FSD,

平面EBDA平面FBD=BD,EOu平面EBD,

所以EO_L平面厂AD,

直线E厂与平面尸8。所成角为NE/O,可得NEFO=60°,

因为FB=FD=0FBLFD,。为AD中点，

所以尸O=」AD=1,

2

所以EO=g,

所以BE=ED=BD=2,

即△£3。为等边三角形，

G为等边的重心，

以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，砺的方向为V轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系O-肛z,

答案第10页，共14页

AzE

>

y

则A8=(-l,-V3,0),丽=(2,0,0),BE=(1,

设％=（苍％2）为平面力8七的法向量,

-x->/3y=0

n,•AB=0

则,一，可得,6J痴n

nx-BE=0XH---V+----Z=0

33

令z=l,可得x=_R,y=V2，

即平面48E的一个法向量为*=（-指，后,1）,

设％=（x/,z）为平面BDE的法向量,

2x=0

n2-BD—0

则即，百276n-

n-BE-0x4---y-\-----z=0

213'3

令z=-l,可得x=0,y=2^2,

即平面瓦g1的一个法向量为胃=（0,2及,-1）,

一—%0+4-1£

则cos<n［，n>>=~/一

l^l-l^lV6+2+1-V0+8+13

所以二面角N-5E-。的余弦值为g.

答案第11页，共14页

17.⑴II

（2）证明见解析

【分析】（1）根据已知求出PQ）及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概

率，再利用条件概率公式求事件/发生的条件下恰有5位同学成功的概率

（2）根据题设写出P（N）、P（B）,利用组合数的性质证明结论即可.

【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动,

尸⑷=c（y《a一/+C；Q_•C；（I-32（3+C：（I-1）（|）3-CKI-

+

35

而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为尸=

P12

所以事件/发生的条件下，恰有5位同学成功的概率

P(A)35,

c；+C+c3c：+c：+Ci+c"C"

（2）由题设知：P（A）=