高考数学（理）一轮总复习作业28专题研究2正余弦定理应用举例

专题层级快练(二十八)1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①② B．②③C．①③ D．①②③答案D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m答案A解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A.3．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米 B．5米C．10米 D．1米答案C解析如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米 B．2sin10°千米C．2cos10°千米 D．cos20°千米答案C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.5.(2017·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故选D.6．在200m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m答案A解析如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．7．(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝(40＋30eq\r(3))nmile，CD＝250eq\r(6)nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从城市A出发以50nmile/h的速度向城市D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sinθ＝________．答案eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析设轮船行驶至F时收到指令，则AF＝50nmile.连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE＝ABsin60°＝40eq\r(3)(nmile)，BE＝ABcos60°＝40(nmile)，CE＝BC－BE＝30eq\r(3)(nmile)，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝50eq\r(3)(nmile)，所以cos∠ACE＝eq\f(3,5)，sin∠ACE＝eq\f(4,5)，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),10)＝eq\f(AC,CD)，所以∠CAD＝90°.因为AF＝50nmile，AC＝50eq\r(3)nmile，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).8．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．答案40米解析如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(eq\r(3)＝1.732，eq\r(2)＝1.414)答案(1)7米(2)小李的设计建造费用低，86600元解析(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(82＋52－AB2,2×8×5).①在△ABD中，由余弦定理，得cosD＝eq\f(72＋72－AB2,2×7×7).②由∠C＝∠D，得cosC＝cosD.∴AB＝7，∴AB长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD·sinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC.∵AD·BD>AC·BC，∴S△ABD>S△ABC.故选择△ABC建造环境标志费用较低．∵AD＝BD＝AB＝7，∴△ABD是等边三角形，∠D＝60°.∴S△ABC＝10eq\r(3)＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5000×17.32＝86600(元)．10．(2017·盐城一模)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案当设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小解析设∠AMN＝θ，在△AMN中，eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AM,sin（120°－θ）).因为MN＝2，所以AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝eq\f(8,3)[1－cos(2θ＋120°)]－eq\f(8\r(3),3)sin(2θ＋1