2025年高考数学一轮复习：圆锥曲线的综合运用-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-圆锥曲线的综合运用-专项训练

m2y-2

1.已知心1,直线/：x-rny—^-=0,椭圆C：/+/=bFi，&分别为椭圆C的左、

右焦点.

(1)当直线/过右焦点/2时，求直线/的方程.

(2)设直线/与椭圆C交于A,8两点，△ABE，的重心分别为G,H.若坐标原

点。在以线段G8为直径的圆内，求实数，〃的取值范围.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸1(一屈，0),F2(Vn,0),点M满足IMFil

一|"尸21=2.记M的轨迹为C.

⑴求C的方程；

(2)设点T在直线x=1上，过T的两条直线分别交C于A,8两点和P,Q两点，且|窗H明

=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

3.已知A,8分别为椭圆E：J+产1(°>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB

=8/为直线尤=6上的动点，出与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D

(1)求E的方程；

(2)证明：直线C。过定点.

4.设抛物线C：丁=2.。>0)的焦点为R点、D(p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当

直线垂直于x轴时，\MF]^3.

(1)求C的方程；

(2)设直线N£>与C的另一个交点分别为A,B,记直线MV,AB的倾斜角分别为

a,小当a―/取得最大值时，求直线的方程.

5.已知椭圆Ci：+5=l(a>6>0)的右焦点/与抛物线C2的焦点重合，G的中心与

C2的顶点重合.过P且与x轴垂直的直线交Ci于42两点，交C2于C,。两点，且|CD|

4

(1)求Ci的离心率；

⑵设〃是Ci与C2的公共点.若|岫=5,求Ci与。2的标准方程.

6.已知双曲线C：7—p=l(a>0,6>0)的右焦点为刀(2,0),渐近线方程为>=川5

X.

⑴求C的方程.

(2)过下的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点尸(xi，乃)，0(尬，丫2)在C上，

且xi>x2>0,巾>0.过P且斜率为一小的直线与过。且斜率为小的直线交于点从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①M在AB上；©PQ//AB-,③MA|=|Affi|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

7.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),8(|,—1)

两点.

⑴求E的方程；

(2)设过点P(l,-2)的直线交E于N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A2交

于点T,点以满足而=宿.证明：直线过定点.

8.已知点A(2,1)在双曲线C：，一音7=1(。＞1)上，直线/交C于尸，。两点，直

线AP,A。的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

(2)若tanNB4Q=2啦，求△B4Q的面积.

参考答案与解析

2________________2

1.解析：⑴因为直线/：x—my—^=0经过点F2dmz—10）,所以1=冷,

解得病=2.又因为机＞1,所以机=也,

故直线I的方程为x~y[2y—1=0.

（2）设2（为,%）,3（x2，J2）.

由A=m2—83-1)=

—m2+8>0,得於<8.

,mm21

yi+y2=—^-2-

由E（—c,0）,&（c，0）,可知G母，,偌，苧

因为坐标原点。在以线段GH为直径的圆内，

所以。//OG＜0,即xiX2+yiy2＜。.

因为X1X2+yi＞2=（myi+亨）（冲2+号）+以竺=（根2+1）•修一，，所以（川十

1）修一，＜0.解得苏＜4（符合m12＜8）.

'又因为根＞1,所以实数力的取值范围是（1,2）._

2.解析：（1）因为|加西|~\MF2\=2＜|FIF2|=2行，

所以，轨迹C是以点尸2为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹C的方程为'—^2=l（a＞0，i»0）,则2a=2,可得。=1,/?=.17-2=4,

所以，轨迹C的方程为=1（尤21）.

（2）设点拈，t）,若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，

不妨设直线AB的方程为y-/=由□：—，，即＞=岛尤+/—g任，

联立,yTix+L/],消去,并整理可得（林―⑹/+怎⑵一年）叶°_虹12+16

J6%2—y2=16

=0,

设点A（X1，yi）,3（x2，＞2）,则且X2＞；.

由主决,居—2批（T0+16

由韦达7E理可得的+%2=k2_]6'%1%2=炉_]6，

X1x2

所以，|加.|阳=（1+1）.的一3.检一3=（1+林）,（jix2—^+£j=

（尸+12）（1+后）

1_16，

设直线PQ的斜率为心，同理可得|"|-\TQ\J"：",

(户+12)(1+而)(於+12)(1+后)

因为|加.\TB\=\TP\.\TQ\,即,整理可得发

林一16七一16

即（左1一左2）（左1+左2）=0,显然左1一左2/0，故%1+%2=0.

因此，直线A3与直线尸。的斜率之和为0.

3.解析：（1）由题设得A（—〃，0）,B（a,0）,G（0,1）.

则启=（〃，1）,GB=（〃，一1）.由启GB=8得〃2—1=8,即〃=3.

所以E的方程为卷+/=1.

（2）证明：设。（即，％）,0（X2,m），P（6,t）.

若/W0,设直线CD的方程为x=?ny+〃，由题意可知一3v〃<3.

由于直线抬的方程为y"（x+3）,所以与"（为+3）.

直线尸3的方程为（%—3）,所以丁2=（（%2—3）.

可得3y1（%2—3）=y2（xi+3）.

可得27yly2=—(处+3)12+3),即

(27+m2)yij2+m(n+3)(yi+m)+(n+3)2=0.①

将犬=my+〃代入总+V=1得

(m2+9)k+2mny+n2—9=0.

代入①式得（27+/）（层一9）—2机伽+3）机〃+（〃+3）2•（机2+9）=O.

3

解得几=—3（舍去）或.

3

故直线CD的方程为x=my+2，

即直线CO过定点住0）.

若f=0,则直线CO的方程为y=0,过点（|,0）.

综上，直线CD过定点（|,0）.

4.解析：（1）（方法一）由题意可知，当x=p时，y2=2p2.

设M点位于第一象限，则点M的纵坐标为gp,\MD\^yj2p,\FD\^.

在中，\FD\2+\MD\2^\FM\2,即（I）+（巾p¥=9,解得p=2.

所以C的方程为丁=4工

（方法二）抛物线的准线方程为x=—5.

当M£>与无轴垂直时，点M的横坐标为p.

此时[MF]=p+g=3,所以p=2.

所以抛物线C的方程为产=4乂

（2）设直线MN的斜率为左1,直线AB的斜率为42,则所=tana,kz=tan。.

由题意可得=0,fe^O.

设M（xi，州），Ng,"），yi>0,次<0，人。3，”），3（%4,为），j3<0,以>0.

设直线A3的方程为>=女2。一根），机为直线A8与％轴交点的横坐标，直线MN的方程

为y=%（尤-1）,直线的方程为y=43（x—2）,直线NZ）的方程为y=M（x—2）.

y=k\（x—1）

联立得方程组

F=4x,

所以1f—（2裕+4）x+1=0,则为％2=1.

y=k?（龙一根）

联立得方程组

V=4无，

所以隹x2—（2相后+4）x+后m2=0,U!!lX3X4=m2.

y=k3（%―2）,

联立得方程组

y2=4x,

所以后X2—（4后+4）x+4/=0,则尤1X3=4.

〉=k&（%—2）

联立得方程组

y2=4x,

所以1一—（4猿+4）x+4后=0,则%加4=4.

所以M（XI，2y[xi）,N（[,君）,~j=）,8（4xi，4G）.

Wi

所以ki=2理,上=△耳，任=2比，

Xl-LX\—\

tana—tan-ki—k?七2]

tan（。B）i+tanoctan/31+^ifo1+2后

fe+2fe

因为e=2无，所以由与％2同号，所以［与夕同为锐角或钝角.

一16

当a—£取最大值时，tan（Q—£）取得最大值.所以fe>0,且当五=2左2,即左2=为~时，

a一夕取得最大值.易得%犷4=:1；=m2,又易知相>0,所以m=4.

所以直线A3的方程为x—立y—4=0.

5.解析：（1）由已知可设G的方程为V=4u,其中〉=4次—1

1

不妨设A,C在第一象限，由题设得A,8的纵坐标分别为5房，-jbC,。的纵坐标

2庐

分别为2c,-2c,t^\AB\=—,\CD\=4c.

由|CD|甘|明得4'=誓,即3X：=2—28.解得。=—2（舍去阂=|.

所以G的离心率为g.

（2）由（1）知q=2c,b=y/3c,

故如i+3?=1-

22

设MQo，yo）,则券+色=1,Jo=4cxo，

故券+要=1•①

（5-c）2

由于。2的准线为％=一。,所以\MF\=xo+c,而|MF|=5,故为o=5—c,代入①得--归

4（5-c）

卜3c-=1,即2c—3=0,解得c=—1（舍去）或c=3.

所以G的标准方程为。+若=1，C2的标准方程为产⑵.

*小，

a=l,

6.解析：（1）由题意可得，解得

b=小.

、、层+方=2,

所以C的方程为V—丁=1.

（2）当直线尸。斜率不存在时，修=检，但为>%2>0,所以直线尸。斜率存在，所以设直线

y~~kx~\~b,

尸。的方程为尸质+6-0）联立得方程组h/

产3=1

消去y并整理，得(3—F)X2—2助x—〃一3=0.

2

EII2kbZ?+3/----：---—-----243(序+3—F)

则+X2=3—^2，即％2=冒_3'修一％2=Y(X1十X2)4X1X213—8

因为即>%2>0，

―Z?2+3

所以为％2=42_3>3即标>3.

所以XI—尤2=2鱼(〃+3—F)

3

设点M的坐标为（XM，>M），

则y"一”=审（XM—入2），yM-yi=~y/3（切―为），

两式相减，得为一p2=2，§XM~y[3（X1+X2）.

因为yi~yi=（kx\+Z?）—（te+b）=k（xi—xi）,

所以2小XM=k（xi—X2）+（Xl+%2），

近按+3一心一kb

解得XM=

於一3

两式相加，得2y•（yi+y2）=S（加一乃）.

因为丁1+m=（区1+人）+（"2+8）=女（%1+'2）+2/?,

所以2yM=%（%1+兀2）+小（为一冗2）+2/?,

铲出3）」+3—J363

解得加=----尸二-----=%XM.

3

所以点M的轨迹为直线y=*%,其中左为直线尸。的斜率.

K.

选择①②.

因为尸。〃A8,所以心B=上

设直线AB的方程为y=k（x-2）,并设点A的坐标为（尤速，以），点B的坐标为。小冲），

yA=k(XA―2),铲汨2kR3k

则解,寸中，班=一小.

jA=y/'^XA，

„,2k273k

问理可a侍期=石不,刃=—时小•

此时XA+xB=-j^—^，以+犯=乒^.

3

因为点M在AB上，且其轨迹为直线尸lX,

>M=k（XM-2）,

所以<_3

加=炉跖

冷刀,曰2>XA+XB6k班+犯

解用XM=心—3=-2~，^M=1^—3=-2—

所以点M为A8的中点，^\MA\=\MB\.

选择①③.

3

当直线A3的斜率不存在时，点M即为点网2,0）,此时点M不在直线丁=二%上，与

题设矛盾，故直线A3的斜率存在.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为并设点A的坐标为

yA—m(初―2),

（XA，yA）,点8的坐标为（XB,冲），则

)A=y[^XA，

解得刀="，全,班=273m

m—y[3.

2m2小m

同理可得

『京忑'k丁+小-

XA+XB2m2划+力6m工丁一-士心3.

此时XM~2=/〃2.，yM=2=..由于点Af时在直线x上，故

3

6m=7解得％=机，HltkPQ//AB.

K

选择②③.因为尸。〃AB,所以总B=Z.

设直线A8的方程为y=Z（x—2）,并设点A的坐标为（%A，班），点3的坐标为（加，如），

yA=kCXA-2),板汨2k2A/3Z

则解侍必=『，划=一小•

yA=yl3xAf

汨2k2小女

同理可侍切=中，»=一左+4-

设A3的中点为C（xc，yc），则苫0=忍受=恙，yc=吗&=优.

因为=所以点〃在A8的垂直平分线上，即点/在直线（x—xc）

上.

3Ob26k

将该直线方程与尸江联立，解得切===XC，加=卅="，即点M恰为反

的中点，所以点〃在直线A8上.

7.解析：（1）设椭圆E的方程为妙2+期2=］（根＞0,n＞0,

4n=l,

将点A（0,—2）,B（i，—1）的坐标代入，得＜9

所以椭圆E的方程为曰+f=1.

（2）证明：（方法一）设MQ1，％），Ng,yi）.

由题意，知直线MN与y轴不垂直，设其方程为％—1=©+2）.

x—1—t(y+2),

联立得方程组

消去X并整理，得(4A+3)y2+(16P+8/)y+16e+16L8=0,

16於+8，16於+16,-8

所以》+竺=—不行'4e+3・

设T(xo，yi).由A,B,T三点共线，得”;。="土|,得xoUyi+3.

"xo-]

设H(—y)

由MT=TH,得gyi+3—xi,0)=(x,—|yi~3,y'—yi),

所以V=3%+6—xi,y'=yi，

”一州________/一y________

所以直线四的斜率％

X2~\~x\—(3%+6)t(%+丁2)-3yi+4/­4

所以直线HN的方程为厂片［（》+j：］+4L4必）.

人V2-V1

令尤=°,得产r(%+")—3%+4L4.(f)+y2

(>L>2)(。2+2/+1)

t(yi+>2)-3yi+4f-4”

(2/—3)(2f—5)(%+y2)+6yi

t(巾+12)—3yi+4f—4

16户+16L8」16产+8J

(2r-3),-4产+3—-(5—2力-4产+3+

t(16产+8f)

-4产+33y1+4L4

=-2.

所以直线NX过定点（0,-2）.

（方法二）由A（0，-2）,B（|,—1）可得直线A8的方程为y=|x—2.

a.若过点P（l,—2）的直线的斜率不存在，则其直线方程为x=l.

将直线方程x=l代入蚤+?=1,可得N（l,半），M（l,一乎）.

将/=一半代入y=WX—2,可得7（3—,,—平）.

一一I-2\［6

由MT=TH,得H（5—2乖,—f-）.

此时直线”N的方程为y=（2+半）（x—1）+半，

则直线HN过定点（0,-2）.

b.若过点P（l,—2）的直线的斜率存在，设此直线方程为依一y—a+2）=0,M（xi，巾）,

N（X2,、2）.

(左+2)=0,

联立得方程组

1.

消去y并整理，得（3标+4）/一6炊2+©x+3©k+4）=0.

6k(2+左)'।—8(2+左)

为+及=3M+4yi+”=3m+4，

所以＜

3k(4+左)4(4+4L2妤)

*速2=3^+4产”=藐干一

一24k

且尤1丫2+》2弘=3芯+4.①

»=%，

联立得方程组2，可得7（与+3,》）.

y=^x~2z

由而=日,得8（3yi+6—xi，ji）.

则直线HN的方程为y—〉2=3弘鼠―；_X2（X—X2）.

将点（0,-2）的坐标代入并整理，得2（xi+尤2）—631+刃）+工1〉2+尤2”-3yly2—12=0.②

将①代入②，得24左+12^+96+4次-24左一48—48左+24m一36合-48=0,显然成立.

综上可得，直线HN过定点（0,-2）.

一/丫241

8.解析：⑴•・•点A（2,1）在双曲线C^2-=1（。>1）上，.*.^2—〃2_]=1，解

得a2=2.

•••双曲线c的方程为与-/=i.

显然直线I的斜率存在，可设其方程为y=kx+m.

y=kx-\-m,

联立得方程组

-y2=l.

消去y并整理，得（1一2S）X2—4Zm%—2川一2=0.

/=16^m2+4（1-2^）（2/+2）=8根2+8—16^>0.

设尸（加，%），2