辽宁省葫芦岛市高中名校2024年招生适应性考试数学试题文试卷

辽宁省葫芦岛市高中名校2024年招生适应性考试数学试题文试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．2．若复数满足，复数的共轭复数是，则（）A．1 B．0 C． D．3．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．设全集集合，则（）A． B． C． D．5．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（）A． B．C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称6．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（）A． B． C． D．7．已知与之间的一组数据：12343.24.87.5若关于的线性回归方程为，则的值为（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.58．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．9．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A．B．C．D．10．一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（）A． B． C． D．11．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．312．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，满足约束条件，则的最大值为______.14．在中，，是的角平分线，设，则实数的取值范围是__________.15．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.16．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线的方程.18．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）19．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值.20．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.21．（12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．22．（10分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．2、C【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．3、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4、A【解析】

先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.5、B【解析】

根据函数，在上是单调函数，确定，然后一一验证，A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数，在上是单调函数，所以，即，所以，若，则，又因为，即，解得，而，故A错误.由，不妨令，得由，得或当时，，不合题意.当时，，此时所以，故B正确.因为，函数，在上是单调递增，故C错误.，故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.6、A【解析】

先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.7、D【解析】

利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.【详解】利用表格中数据，可得又，．解得故选：D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.8、B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.9、B【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．10、B【解析】

根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为，高为，所以，到的距离为，同理到的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为.故选：B【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.11、A【解析】

由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【详解】由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.12、C【解析】

根据可得四边形为矩形,设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.【详解】设,,由,,知,因为,在椭圆上,,所以四边形为矩形,；由,可得,由椭圆的定义可得,①,平方相减可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、29【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图：联立，解得，目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，最大值为.所以本题答案为29.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14、【解析】

设，，，由，用面积公式表示面积可得到，利用，即得解.【详解】设，，，由得：，化简得，由于，故.故答案为：【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.15、【解析】

用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.【详解】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.故答案为：【点睛】本题考查随机事件的概率，是基础题.16、1【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为当目标函数经过点时，直线的截距最大此时取得最大值1．故答案为：1【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】

（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.因此椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，.面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.18、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．【解析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列为0123所以数学期望．【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19、（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解.（2）根据，利用两角和的余弦得到，利用数形结合，设，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【详解】（1）因为，所以，即，即，所以.（2）∵，.所以，从而.所以，.不妨设，O为外接圆圆心则AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.20、（1），；（2）.【解析】

（1）先将曲线化为普通方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：，可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）由已知可得出射线的极坐标方程为，联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标，从而得出，由的范围可求得的取值范围.【详解】（1）曲线的普通方程为，即，其极坐标方程为；曲线的极坐标方程为，即，其直角坐标方程为；（2）射线的极坐标方程为，联立，联立，的取值范围是【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系，属于中档题.21、（1）（2）证明见解析【解析】

（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．