专题09 二次函数的图像与性质（二）（云南专用）（原卷版）

专题09二次函数的图像与性质（二）目录热点题型归纳 1题型01二次函数与不等式 1题型02根据二次函数的对称性求解 4题型03二次函数中的平移、翻折、旋转问题 6题型04二次函数图象判断综合 9题型05二次函数与实际问题 11中考练场 15 题型01二次函数与不等式【解题策略】二次函数与不等式的关系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2x≠−取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解【其它情况】1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．【典例分析】例1．（2023·浙江）已知二次函数y=ax2−4ax（a是常数，a<0）的图象上有Am,y1和B2m,y2两点．若点A，B都在直线y=−3a的上方，且A．1<m<32 B．43<m<2 C．例2．（2023·安徽模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是A.−1<x<5 B.x>5

C.x<−【变式演练】1.（2023·福建模拟）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则不等式axA.x>−1 B.x<3

C.x<−1或x>3 D.−1<x<32．（2023·江苏）如图，二次函数y=12x2+bx−4的图像与x

(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．3．（2023·浙江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．题型02根据二次函数的对称性求解【解题策略】抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.【典例分析】例1．（2023·辽宁）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为3，0A．abc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2例2．（2023·湖南）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当

【变式演练】1.（2023·浙江）设二次函数y=ax−mx−m−k(a>0,m,k是实数)A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2aC．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a2.（2023·湖南）如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是

(

)

A.b恒大于0 B.a，b同号

C.a，b异号 D.以上说法都不对3.（2023·湖北）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−3,0)，且对称轴为直线x=−1.有以下结论：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③当−2<x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．（2023·北京）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，N(1)若对于x1=1，x2=2有(2)若对于0<x1<1，1<x2题型03二次函数中的平移、翻折、旋转问题【解题策略】二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3）二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号【典例分析】例1．（2024·湖南模拟）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点【变式演练】1．（2023·江苏模拟）如图，将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y=x交于点M，则点M2.（2024·四川模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题型04二次函数图象判断综合【解题策略】二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−增减性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.【典例分析】例1．（2024·贵州模拟）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−A．B．C．D．【变式演练】1.（2022·湖南）已知二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，其中b>0，c>0，则该函数的图象可能为A. B.

C. D.2.（2022·广西）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2A.

B.

C.

D.3.（2023·浙江）抛物线y=ax2−aa≠0与直线y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限题型05二次函数与实际问题【解题策略】用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的取决范围。利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．【典例分析】例1．（2023·上海）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为(

)水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A.23.20cm B.22.75cm C.21.40cm D.23cm例2．（2023·黑龙江）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗户框的材料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积．【变式演练】1.（2023·广东）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+ca≠0，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移mm>0个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y2．（2023·浙江）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？3．（2022·辽宁）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？1．（2021·广西）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，A．x≤−3或x≥1 B．x≤−1或x≥3 C．−3≤x≤1 D．−1≤x≤32.（2022·四川）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x1,0)、(2,0)，其中0<x1<1.下列四个结论：①abc<0；②a+b+c>0；③2a−c>0；A.4 B.3 C.2 D.13．（2023·黑龙江）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量xx⋯−101234⋯y⋯0−3−4−305⋯

备用图(1)求二次函数y=ax(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax24.（2023·山东）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是A.2a+b=0

B.−4a−2b+c>0

C.x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根

D.点(x1,5.（2023·四川）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−2,0)，B两点，对称轴是直线x=2，下列结论中，所有正确结论的序号为(

)

①a>0；

②点B的坐标为(6,0)；

③c=3b；

④对于任意实数m，都有4a+2b≥amA.①② B.②③ C.②③④ D.③④6.（2023·上海）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y=2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是(

)A.开口方向相同; B.对称轴相同;

C.顶点的横坐标相同; D.顶点的纵坐标相同．7．（2023·四川）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=258.（2022·贵州）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cxA.

B.

C.

D.9.（2023·江苏）函数y=1x2的大致图象是A. B.

C. D.10.（2023·湖北）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112(x−10)(x+4)，则铅球推出的距离OA=______m.11.（2023·湖北）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)以、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表．飞行时间t/s02468…飞行水平距离x/m010203040…飞行高度y/m022405464…探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；(2)在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．12.（2023·陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱