2025届高考数学一轮复习核心素养测评第二章2.4指数与指数函数理含解析北师大版

PAGE8-核心素养测评七指数与指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.QUOTE·QUOTE·QUOTE的化简结果为 ()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选B.原式=QUOTE·QUOTE·1QUOTE=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=3·20=3.2.(2024·抚州模拟)已知a>b>1,ab=ba,lna=4lnb,则QUOTE=()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】选D.a>b>1,lna=4lnb⇒lna=lnb4⇒a=b4,ab=ba⇒b4b=ba⇒4b=a⇒QUOTE=4.3.(2024·武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ()A.b<a<c B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c【解析】选B.因为a=0.24=0.0016,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.4.(a2-a+2021)-x-1<(a2-a+2021)2x+5的解集为 ()A.(-∞,-4) B.(-4,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)【解析】选D.因为a2-a+2021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.5.(2024·太原模拟)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0【解析】选D.由题干图像知f(x)是减函数,所以0<a<1,又由图像在y轴上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.6.(2024·北京模拟)若ea+πb≥e-b+π-a,则有 ()A.a+b≤0 B.a-b≥0C.a-b≤0 D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.7.(2024·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为 世纪金榜导学号()A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)8.指数函数y=f(x)的图像经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________________.

【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.若f(x)=QUOTE是R上的奇函数,则实数a的值为________________,f(x)的值域为________________.

【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以QUOTE=0,解得a=1,f(x)=QUOTE=1-QUOTE.因为2x+1>1,所以0<QUOTE<2,所以-1<1-QUOTE<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1(-1,1)10.给出下列结论:①当a<0时,(a2QUOTE=a3;②QUOTE=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2QUOTE-(3x-7)0的定义域是QUOTE;④若2x=16,3y=QUOTE,则x+y=7.其中正确结论的序号有________________. 世纪金榜导学号

【解析】因为a<0时,(a2QUOTE>0,a3<0,所以①错;②明显正确;解QUOTE,得x≥2且x≠QUOTE,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y=QUOTE=3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③(15分钟35分)1.(5分)(2024·重庆模拟)设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=QUOTE给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于随意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则 ()A.K的最大值为0 B.K的最小值为0C.K的最大值为1 D.K的最小值为1【解析】选D.依据题意可知,对于随意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,肯定成立的是 ()A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2c D.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图像,如图.因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图像知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1,所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2024·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满意f(1)=QUOTE,则f(x)的单调递减区间是 ()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=QUOTE,得a2=QUOTE,解得a=QUOTE或a=-QUOTE(舍去),即f(x)=QUOTE.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2024·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为______________mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数的值为________________.

【解析】依据条件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=QUOTE,所以M(t)=100QUOTE+24;所以M(4)=100QUOTE+24=26.56;由100QUOTE+24<24.001得:QUOTE<(0.1)5;所以lgQUOTE<lg(0.1)5;所以tlgQUOTE<-5;所以t[lg2-(1-lg2)]<-5;所以t(2lg2-1)<-5,代入lg2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整数t的值是13.答案:26.5613【变式备选】已知a-QUOTE=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因为a-QUOTE=3,所以a2+QUOTE=QUOTE+2·a·QUOTE=9+2=11,而QUOTE=a2+QUOTE+2=13,所以a+QUOTE=QUOTE,所以a2+a+a-2+a-1=11+QUOTE.4.(10分)已知函数y=aQUOTE+b的图像过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交. 世纪金榜导学号(1)求该函数的解析式,并画出图像.(2)推断该函数的奇偶性和单调性.【解析】(1)因为函数y=aQUOTE+b的图像过原点,所以0=aQUOTE+b,即a+b=0,所以b=-a.函数y=aQUOTE-a=aQUOTE.又0<QUOTE≤1,-1<QUOTE-1≤0.且y=aQUOTE+b无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,所以a<0且0≤aQUOTE<-a,所以-a=2,函数y=-2QUOTE+2.用描点法画出函数的图像,如图.(2)明显函数的定义域为R.令y=f(x),则f(-x)=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,y=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2为单调增函数.当x<0时,y=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2为单调减函数.所以y=-2QUOTE+2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.5.(10分)已知函数f(x)=QUOTE. 世纪金榜导学号(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=QUOTE,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=QUOTE在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f