河南省九师联盟2025届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

河南省九师联盟2025届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线与幂函数的图象相交于，且过双曲线的左焦点的直线与函数的图象相切于，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知，，则（）A. B.C. D.3．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去两安，一人去云南.回来后，三人对去向作了如下陈述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人陈述都只对了一半(关于去向的地点仅对一个).根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南4．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.505．的展开式中的系数为，则（）A. B.C. D.6．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.8．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式解集是A. B.C. D.9．已知圆，圆C2：x2+y2－x－4y+7=0，则“a=1”是“两圆内切”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件10．不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或11．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6 B.5C.4 D.212．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线与直线垂直，则______14．矩形ABCD中，，在CD边上任取一点M，则的最大边是AB的概率为______15．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________16．等差数列前项之和为，若，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）如果，求椭圆C的方程18．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，为上一点，为的中点，且，，现将梯形沿折叠(如图2)，使平面平面.（1）求证：平面平面.（2）能否在边上找到一点(端点除外)使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.19．（12分）已知；.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.20．（12分）已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.21．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.（1）证明：；（2）若，求多面体的体积.22．（10分）已知抛物线：，直线过定点.（1）若与仅有一个公共点，求直线的方程；（2）若与交于A，B两点，直线OA，OB（其中О为坐标原点）的斜率分别为，，试探究在，，，中，运算结果是否有为定值的？并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设直线方程为，联立，利用判别式可得，进而可求，再结合双曲线的定义可求，即得.【详解】可设直线方程为，联立，得，由题意得,∴，，∴，即，由双曲线定义得，.故选：B.2、C【解析】利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.3、D【解析】根据题意，先假设甲去了北京正确，则可分析其他人的陈述是否符合题意，再假设乙去西安正确，分析其他人的陈述是否符合题意，即可得答案.【详解】由题意得，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半，假设甲去了北京正确，对于甲的陈述：则乙去西安错误，则乙去了云南；对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；对于丙的陈述：甲去了云南错误，乙去了北京也错误，故假设错误.假设乙去了西安正确，对于甲的陈述：则甲去了北京错误，则甲去了云南；对于乙的陈述：甲去了西安错误，则丙去了北京正确；对于丙的陈述：甲去了云南正确，乙去了北京错误，此种假设满足题意，故甲去了云南.故选：D4、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.5、B【解析】根据二项式展开式的通项，先求得x的指数为1时r的值，再求得a的值.【详解】由题意得：二项式展开式的通项为：，令，则，故选：B6、B【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意.故选：B7、D【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8、B【解析】设．由，得，故函数在上单调递减．由为奇函数，所以．不等式等价于，即，结合函数的单调性可得，从而不等式的解集为，故答案为B.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（），从而求导，从而可判断单调递减，从而可得到不等式的解集9、B【解析】先得出圆的圆心和半径，求出两圆心间的距离，半径之差，根据两圆内切得出方程，从而得出答案.【详解】圆的圆心半径的圆心半径两圆心之间的距离为两圆的半径之差为当两圆内切时，，解得或所以当，可得两圆内切，当两圆内切时，不能得出（可能）故“”是“两圆内切”的充分不必要条件故选：B10、A【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由，得，解得，所以原不等式的解集为，故选：A11、B【解析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【详解】由题意，,解得所以故选：B.12、D【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据两直线垂直得，即可求出答案.【详解】由直线与直线垂直得，.故答案为：.14、【解析】先利用勾股定理得出满足条件的长度，再结合几何概型的概率公式得出答案.【详解】设，当时，，；当时，，所以当到的距离都大于时，的最大边是AB，所以的最大边是AB的概率为.故答案为：15、【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【详解】∵，球半径为4，∴小圆的半径为，∵小圆中弦长，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案为：.16、【解析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】由已知条件得,故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）求得直线的方程，利用点到直线的距离列方程，由此求得，进而求得焦距.（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，结合来求得，从而求得椭圆的方程.【小问1详解】依题意，直线的方程为，到的距离为，所以焦距.【小问2详解】由，消去并化简得，设，则，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以椭圆的方程为.18、（1）证明见解析.（2）存在点，为线段中点【解析】（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，作于于，连接，则，，则，，则，在直角中，可得，则，所以，故，且折叠后与位置关系不变.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）在中，由，为的中点，可得.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的法向量为，则，令，可得平面的法向量为，假设存在点使平面与平面所成角的余弦值为，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，设平面的法向量为，可得，令得，∴，解得，因此存在点且为线段中点时使平面与平面所成角的余弦值为.本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解及应用，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19、（1）；（2）.【解析】解不等式求得为真、为真分别对应的解集；（1）由为真可得全真，两解集取交集可得结果；（2）由和的真假性可得一真一假，则分为真假和假真两种情况求得解集.【小问1详解】若为真，则，即，即，所以或，若为真，则，所以，因为为真命题，所以均为真命题.所以实数的取值范围是.【小问2详解】若为假命题，为真命题，则一真一假，若真假，则，解得或，若假真，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.20、（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.【小问1详解】令公差为d，由得：，解得.所以.【小问2详解】，则，累加整理，得：，①，②②-①得：，又满足上式，故.21、（1）见详解（1）.（2）16【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.【小问1详解】因为，所以共面，连接、,因为和均为等边三角形，D是的中点，所以，，，所以面平，平面，【小问2详解】因为，，四边形是平行四边形，和均为等边三角形，D是的中点，所以，,平行四边形是正方形形，，.22、（1）或或（2）为定值，而，，均不为定值【解析】（1）过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两类分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切；（2）联立直线的方程与抛物线的方程，根据韦达定理，分别表示出，，，为直线斜率的形式，便可得出结果.【小问1详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切：易知：是其中一条直