专题21全等三角形倍长中线法-初中数学模型与解题方法专题训练

21全等三角形倍长中线法一、单选题1．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（

）

A．①②③ B．① C．② D．①②【答案】A【详解】解：如图，连接．∵，F为的中点，∴，．∵，∴，∴．又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．①正确．∵，∴，∴四边形的面积为．∵，∴四边形的面积为16，为定值．②正确．延长到G使，连接．∵，，，∴，∴．∵，∴，∴．在中，∵，∴．③正确．①②③均正确，故选A．

2．在中，，中线，则边的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，145=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故选：C．3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（

）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2【答案】A【详解】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH//AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△CEF=3S△EFH，∴S△CEF=3S△DGF，∴S△DGF=×12=4（cm2）．故选：A．4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为()A．30 B．24 C．20 D．48【答案】B【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，如图所示：∵D为BC的中点，∴DC=BD，在△ADB与△EDC中，，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE=AB=6．又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，则S△ABC=S△ACE=CE•AE=×6×8=24；故选：B．5．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】四边形是平行四边形由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；故选项错误；同时延长和交于点在和中：由于条件不足，并不能证明，故选项错误；为的中点故选项正确；故选：D.6．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】解：①过作于，于，过作于，是角平分线，，，，，，，故①正确；②，平分，，是中线，无法得出，故②错误；③延长到使，连接，是中线，，在和中，在中，，，，故③正确；④在上截取，连接，是角平分线，，在和中，，，在中，，，即，故④正确；综上①③④正确．故选B．7．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】A【详解】解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三边关系得，即：故选：A8．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．9．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④【答案】B【详解】解：∵是中线，∴∴与的面积相等故①正确，延长至，使，如图∵，，∴（SAS），∴则在中，∴故②正确，点是线段AD上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，∵∴又∵与的面积相等∴的面积和的面积相等故③不正确，点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，由，，，∴，∴∴故④正确，故选：B．10．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．二、填空题11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为．【答案】【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案为：．12．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为．【答案】2.4【详解】如解图，延长到点，使，∵为边的中线，∴∵，∴∴，∵∴∴∵，∴∴．故答案为：2.4．13．如图，在平行四边形，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则．

【答案】【详解】解：如图，延长交于点，∵点是的中点，∴，∵平行四边形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中点，∴，∴中，，故答案为：．

14．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α．15．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝．【答案】100°【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°．16．如图，中，，，，为边的中点，则．【答案】【详解】解：延长到使，连接，如图所示：在和中，，≌，，，，在中，，为直角三角形，，故答案为：．17．如图，，，，，点M为的中点，，．【答案】6【详解】证明：延长AM至N，使，连接，∵点M为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：6．18．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则．【答案】【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G，∵点E是的中点，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，

设，∵，∴，解得，即．故答案为：三、解答题19．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．【答案】见解析【详解】证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF在△ADC和△FDB中，∴（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．20．如图，在中，，，边上的中线，求的长．【答案】【详解】解：如图，延长到，使，连接，是边上的中线，，在和中，，∴，，，，，，，是直角三角形，，，．21．如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：．【答案】见解析【详解】证明：如图，延长到G，使，连接，∵是的中线，∴，又，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．22．如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：．【答案】见解析【详解】证明：如图，延长至，使得，∵是的中点，∴，在与中，，∴（SAS），∴，∵，∴，，，,在与中，，∴（SAS），，∵，∴．23．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．【答案】见解析【详解】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，∴，DG＝DF，∵ED⊥DF，∴EG＝EF，∵，∴，∴，∵，∴，∴．24．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见详解；(2)见详解【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示：∵是的中线，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴（AAS），∴，∴．25．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）【答案】见解析【详解】证明：如图，延长至，使，连接．∵是的中线，∴．在与中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在与中，，∴．∴．∵，∴．26．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：．【答案】见解析【详解】证明：延长至P，使，连接，在与中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．27．如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1），（2）【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接，∵为中边上的中线，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．28．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故答案为1＜AD＜6．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．（4）结论：EF＝BE﹣FD证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．29．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．30．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析【详解】解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系得：BEAB＜AE＜BE+AB，∴85＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，∴＜AD＜，故答案为：SAS，＜AD＜；（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），∴BF=CN，∵DM⊥DN，FD=ND，∴MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，∴BM+CN＞MN．（3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN．理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G．由（1）得：△BAD≌△CED，∴∠BAD=∠E，AB=CE，∵∠BAM=∠NAC=90°，∴∠BAC+∠MAN=180°，即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，∴∠ACE=∠MAN，∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，∴AB=MA，AC=AN，∴CE=MA，∴△ACE≌△NAM（SAS），∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，∴2AD=MN．∵∠NAC=90°，∴∠EAC+∠NAG=90°，∴∠MNA+∠NAG=90°，∴∠AGN=90°，∴AD⊥MN．31．（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，