福建省福州文博中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

福州文博中学2024-2025学年第一学期高二10月份月考数学科（题目卷）（完卷时间：150分钟，总分：150分）第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则（）A.B.C.D.3.如图，空间四边形中，，且，则（）A.B.C.D.4.如果向量共面，则实数的值是（）A.B.1C.D.55.已知空间向量满足，则的夹角为（）A.B.C.D.6.如图，二面角的大小为分别在平面内，，则（）A.B.C.D.7.已知正四面体为中点，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱于点，若，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（）A.存在平面，使得且B.存在平面，使得且C.存在平面，使得D.存在平面，使得10.已知空间四点，则下列说法正确的是（）A.B.C.点到直线的距离为D.四点共面11.如图，平面，，则（）A.B.平面C.二面角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为第II卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过两点的直线的方向向量为，则__________.13.长方体中，，则点到平面的距离为__________.14.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，且，求.16.（本小题15分）如图，在平行六面体中，，分别为的中点.求证.17.（本小题15分）在如图所示的多面体中，平面平面，且是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.18.（本小题17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.19.（本小题17分）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，点在面上的射影恰为的重心.（1）证明：；（2）证明：面；（3）求该五面体的体积.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线斜率，倾斜角，属基础题.由方程求得斜率，得倾斜角.【解答】解：直线方程可以化为，斜率为1，设其倾斜角为，则，又故.故选D.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间两点间的距离公式，涉及空间点的坐标，属于基础题.根据题意，求出的坐标，进而由空间两点间距离公式分析可得答案.【解答】解：根据题意，点在平面内的正投影为点，则的坐标为，则.故选：B.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了空间向量的加减运算，属于基础题.由，可得，由，可得，由即可求解.【解答】解：，，，.故选A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量共面定理，属于中档题.设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【解答】解：由于向量共面，设，可得，解得.故选：B.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的夹角和向量的数量积.先得出，设与的夹角为，根据，即可得出结果.【解答】解：，设与的夹角为故，即，解得，因为，故，故选C.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中线段长的求法，解题时要认真审题，考查了学生的空间思维能力与运算能力.由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案.【解答】解：，与夹角大小为二面角的大小，，又利用向量加法运算知，，即解得：，故选：A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，属于中档题.连接，取的中点，连接，设正四面体的棱长为2，可知即为直线与直线所成角，再由余弦定理可得直线与直线所成角的余弦值.【解答】解：连接，取的中点，连接，设正四面体的棱长为2，在三角形中，分别为的中点，可得，可知即为直线与直线所成角，因为，所以，在直角三角形中，可得，又，在三角形中，由余弦定理可得，则直线与直线所成角的余弦值为，故选B.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题.由空间向量基本定理，用表示，由四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【解答】解：由题意可知，，因为四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以.故选：D.9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.根据异面直线的性质，结合线面垂直的判定定理和性质，线面平行的判定定理和性质，进行逐项分析判断，即可求解.【解答】解：对于A，设的公垂线为，其中.过作的平行线，设直线与确定的平面为平面，则，，又平面，.故A正确；对于B，过上一点作，设与所确定的平面为，则，故B正确.对于C，若，则与异面相矛盾，故C错误；对于D，若，则平面或，故正确.故选ABD.10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积与模的运算，空间向量的数量积等运算，属于基础题.得出即可分析A，B选项，运用等积法可分析C选项，运用空间向量的共面定理可分析D选项.【解答】解：由题意，，，故A正确；，故B正确；由等面积法可得点到直线的距离为，故C正确；假设四点共面，则存在实数满足，即，而该方程组无解，故四点不共面，故D错误；故选ABC.11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查利用利用空间向量求线面和面面的夹角､利用空间向量判定线线的垂直､利用空间向量判定线面的平行关系，属于中档题.建立空间直角坐标系，利用，判断；依题意，是平面的法向量，由，则，判断；分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再求出，，即可判断CD.【解答】解：以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，所以，所以不垂直，故A错误；依题意，是平面的法向量，又，可得，则，又因为直线平面，所以平面，故B正确；设为平面的一个法向量，则，即，令，可得，依题意，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，所以，故C正确；因为，故D错误.故选BC.12.【答案】2【解析】【分析】本题考查了直线的方向向量，是基础题.根据向量平行列出等式即可.【解答】解：由题可知，又直线的方向向量为，故与平行，所以，所以13.【答案】【解析】【分析】本题考查点到平面距离的向量求法，属于中档题.建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【解答】解：在长方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，所以，设平面的法向量为：，，令得：，又，点到平面的距离为：.故答案为.14.【答案】【解析】解：以为原点，为轴，过作平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，设平面的法向量，，可得，设直线与平面所成角为，则故答案为：以为原点，为轴，过作平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.15.【答案】解：（1）由，得：，，，解得，所以，，，，即；（2）由，得，解得，由，解得：，所以或.【解析】本题考查了利用正､余弦定理解三角形和三角形面积公式，属于中档题.（1）由，由三角恒等变换得，可得的大小；（2）由，得出，结合余弦定理联立得出.16.【答案】证明：设，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，则，所以.所以.【解析】本题考查了空间向量的基本定理和加减数量积运算，属于基础题.要证，只需证明.由已知，可构成空间的一个基底.把和分别用基底表示，然后计算即可.17.【答案】（1）证明：是的中点，，又平面平面，，平面平面，平面，平面，.（2）解：如图，以为原点，为轴，以过点平行的直线为轴，建立如图所示的坐标系，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则，所以.平面与平面所成的二面角的正弦值为；（3）解：在棱上存在一点，设，且，，解得，，直线与平面所成角为，，解得，存在点符合条件，且是棱的中点.【解析】本题考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求解二面角，属于中档题.（1）证明平面即可得；（2）建立空间坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，以及平面的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面与平面所成的锐二面角正弦值；（3）设，利用若直线与平面所成的角为，列出方程求出，即可得到点的位置.18.【答案】解：（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，又平面平面，平面，平面，又平面，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，，又平面平面.法二：由平面平面，又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，又平面平面.法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为，，即，不妨取，则，则，所以平面的一个法向量为，平面.（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.（3），设，则，；由（1）知：平面平面的一个法向量（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面的法向量，则，令，则；，令，则，，即锐二面角的余弦值的取值范围为.【解析】本题考查知识点为线面垂直的判定，空间向量求点面距离､二面角，属于一般题.（1）法一：根据题意求到平面，得，证明，从而可得平面.法二､三：建立空间直角坐标系，由向量法证明线面垂直；（2）由（1）得平面的法向量，利用点面距离公式求解即可；（3）由（1）得平面的法向量