2024-2025学年高一数学必修第一册（配湘教版）教学课件 2.1.3 基本不等式的应用

第2章一元二次函数、方程和不等式2.1.3基本不等式的应用课标要求1.能够利用基本不等式求代数式的最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点利用基本不等式求最值已知x,y都为正数,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值

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(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值

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名师点睛利用基本不等式求最值的注意事项在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.例如:中等号不成立,即此时不能用基本不等式求最值.另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.过关自诊1.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(

)A.5千米处

B.4千米处C.3千米处

D.2千米处A2.已知x>0,y>0.(1)若xy=4,则x+y的最小值是

;

4(2)若x+y=4,则xy的最大值是

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4重难探究·能力素养速提升探究点一利用基本不等式求代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值【例1】

求下列代数式的最值,并求出相应的x值.规律方法

利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).

变式训练1

D2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

4变式探究

1规律方法

利用基本不等式求条件最值问题时,若所给条件为ax+by=1或可化为ax+by=1及

=1(其中a,b为常数,x,y为变量),可利用“1”的结构,将待求式子的结构进行调整,优化为可以直接利用基本不等式求最值的式子.探究点二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题【例3】

[2024甘肃临夏高一校考期末]某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5米,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价y最低?最低总造价是多少元?规律方法

应用基本不等式解决实际问题的思路与方法(1)理解题意,设出变量.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4)根据实际背景写出答案.变式训练2如图,某人要围成相同的四个长方形菜园,一面可利用原有的墙,其他各面用篱笆围成.现有36m长的篱笆材料,每个菜园的长、宽分别设计为多少时,可使每个菜园面积最大?解

设每个菜园长x

m,宽y

m,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每个菜园的面积为S,则S=xy.当且仅当6-y=y,即y=3时等号成立,此时x=4.5.故每个菜园的长为4.5

m,宽为3

m时,可使每个菜园的面积最大.学以致用·随堂检测促达标12345A123452.已知a,b均为正实数,且a+2b=3ab,则2a+b的最小值为(

)A.3 B.4

C.6

D.9A123453.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为

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123454.某电商自营店,其主打商品每年需要6000件,每年n次进货,每次购买x件,每次购买商品需手续费300元,已购进未卖出的商品要付库存费,可认为平均库存量为

,每件商品库存费是每年10元,则要使总费用(手续费+库存费)最低,则每年进货次数为