数学同步训练：数列的递推公式（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1.2数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1。判断下列说法哪个是错误的（）A。递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1（n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.an=2an—1(n≥2）是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法。an=an—1与an=2an—1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,所以都是递推公式.答案:C2。已知数列｛an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an—1+an—2(n＞2)给出,则该数列的第5项等于（）A。6B.7C解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an—2，∴a3=a2+a1=1+2=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8。答案:C3.一个数列｛an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项,请写出构成这个数列的递推公式an=__________________。解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n的取值范围.答案:2an-1+an+1(n≥2）4。在数列{an｝中，an+1=an+2+an,a1=2,a2=5，则a6的值为_______________。解析：∵an+1=an+2+an，∴an+2=an+1-an，则有a6=a5—a4=（a4-a3)—a4=-a3=-（a2-a1)=a1-a2=2-5=-3。答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。已知a1=1，an+1=(n∈N＊)，依次写出｛an}的前5项为__________，归纳出an=_________.解析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，根据递推公式：an+1=，将n=2，3，4，5代入可得这个数列的前5项.∴a2=，a3=，a4=，a5=．∴an=答案：1，an=2。数列｛an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2）,则a5=_____________.解析：由an=an—1+n（n≥2)，得an—an-1=n,则a2-a1=2,a3-a2=3，a4-a3=4,a5—a4=5，把各式相加得a5-a1=2+3+4+5=14，∴a5=14+a1=14+1=15。答案：153。已知a1=2，an+1=2an,写出前5项，并猜想an.解:将n=2,3，4，5代入an+1=2an，可得:a1=2，a2=22，a3=23，这样我们就很容易猜出通项公式an=2n。4.已知数列{an}：1，5,8,9，4，通过公式bn=an·an+1构造一个新的数列{bn｝，试写出数列｛bn｝的前4项.解：将序号1,2,3，4代入公式bn=an·an+1，可得:b1=a1·a2=1×5=5，b2=a2·a3=5×8=40，b3=a3·a4=8×9=72，b4=a4·a5=9×4=36。所以数列｛bn}的前4项为：5,40,72,36。5.下面是由数字排列的一个数列:7,9,16，25，41，66,107,173,写出其递推公式。解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和,7+9=16，9+16=25，16+25=41,25+41=66，…所以递推公式为：a1=7,a2=9,an=an-1+an-2(3≤n≤8)。6.在数列｛an}中，a1=1，4an+1-anan+1+2an=9（n∈N），写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子.解:∵4an+1-anan+1+2an=9（n∈N），∴an+1（4-an）+2an=9.∴an+1（4—an)=9—2an。∴an+1=.∴a2==，a3=，a4=。则求出的这个数列的前4项为：1，，可归纳出通项公式为:an=。30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1。在数列｛an}中，an=1，an+1=an2-1（n≥1）,则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A。-1B.1C。0解析：由已知an+1=an2—1=（an+1）（an—1），∴a2=0，a3=-1，a4=0，a5=—1.答案：A2。已知数列｛an｝中，a1=b（b为任意正数），an+1=（n=1,2,3，…），能使an=b的n的数值可以是(）A。14B。15C.16解析：∵a1=b，an+1=，∴a2=，a3=,a4=b。∴｛an｝为周期为3的数列.由于a1=a4=b，∴a16=b。答案：C3。若数列｛an｝满足:an+1=且a1=2，a2006等于(）A.1B.2C.D.解析:由an+1=以及a1=2得,a2=，a3=1—2=—1，a4=2，…，由此可见,数列｛an｝的项是以3为周期重复出现的，故a2006=a3×668+2=a2=，故选D．答案:D4。数列{an}的前9项是1,5，7,17,31,65，127，257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式an=_____________。解析：1+5=6,5+7=12，7+17=24，等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案:a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加,其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________。解析：2005年的市场占有率为A，2006年的市场占有率为A+,2007年的市场占有率为A+,发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式。答案:递推关系式为：6。设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.试用an表示an+1。解：根据韦达定理，得α+β=,α·β=，由6α-2αβ+6β=3得6·，又在二次方程中an≠0，故an+1=.7.已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=αan+β，且a2=3,a4=15，求α,β的值。解：由a2=αa1+β=α+β=3，得β=3-α。故a3=αa2+β=3α+β=2α+3,a4=αa3+β=α（2α+3)+3—α=2α2+2α+3=15。化简得α2+α-6=0.解得α=—3或α=2,代入β=3—α得β=6或β=1.故代入检验皆成立。8。平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行,任何三条不过同一点，用an表示交点的个数,试写出an与an—1的关系式。解:要想弄清an与an—1的关系，需要先研究n=1，2，3，…，具体的关系。当n=2时,两条直线相交，交点只有1个，当n=3时,三条直线相交,交点有3个，……当n-1条直线相交时,交点个数为an—1，现在来考虑n条直线的情况。任取其中的1条直线，记为l，除l以外的其他n-1条直线的交点个数an—1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的an—1个交点也两两不相同.从而平面内n条直线交点的个数是an=an—1+（n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术,预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a。写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量,并写出第n年与第(n—1)年（n∈N且n≥2)的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n年的产量为an，则a1=a（1+200％)=3a，a2=a1（1+×200%）=6a，a3=a2(1+×200%)=9a，a4=a3(1+×200%）=。依此，得an=an—1(1+×200％)=an—1［1+()n—2］(n∈N*，n≥2）。10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的数据所成的数列｛ln}表示成图象，如下图,根据图象完成下列问题:（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{ln｝的通项和金属棒长度l(m）关于温度t（单位:℃）的函数关系式；(3）在30℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1）从图上不难看到第5次量得金属棒长度是2.005m，这时温度为（5-1）×50+100=300℃.（2)设ln=dn+b，由待定系数法可得通项公式ln=0。001n+2，由题意可得t=50（n-1)+1