2025届高三数学一轮总复习 第九章 第五讲 古典概型配套课件

第五讲古典概型2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布1.古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典概率模型).(1)有限性：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)等可能性：每一个试验结果出现的可能性相同.试验的所有可能结果数2.古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能结果数 .考点一古典概型的判断)1.下列关于古典概型的说法中正确的是(①试验中样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，A.②④C.①④

B.③④D.①③④解析：由古典概型的特征知①③④正确，②错误.故选D.答案：D2.下列问题中是古典概型的是()

A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率

解析：A，B两项中的样本点发生不是等可能的；C项中样本点有无限多个；D项中样本点的发生是等可能的，且个数有限，是古典概型.故选D.答案：D

考点二古典概型的概率

[例1](1)(2023年禅城区月考)已知m是1，2，3，4，5，6的第75百分位数，随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数小于m的概率为()A.12B.23C.45D.56

解析：因为6×75%＝4.5，所以1，2，3，4，5，6的第75百分位数m＝5，随机抛掷一枚质地均匀的骰子，基本事件个数是6，则点数小于m的基本事件共有4个，由古典概型的概率公式可答案：B

(2)(2023年南京市期中)现有7个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字1，2，2，3，4，5，6.从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为()A.27B.1435

16C. 35

4D. 7答案：C【题后反思】求解事件A发生的概率P(A)的解题关键【变式训练】1.(2022年全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23答案：D

2.(2023年内江市校级月考)随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外.现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留念，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站在“冰墩墩”同一侧的概率为()答案：C

考点三古典概型的交汇问题考向1古典概型与平面向量的交汇[例2]设平面向量

a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()

解析：有序数对(m，n)的所有可能结果数为4×4＝16.由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的样本点为(2，1)和(3，4)，共2个.所以所答案：A

考向2古典概型与函数的交汇答案：A考向3古典概型与解析几何的交汇

[例4]将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________.

解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36(种)，其中满足直线ax＋by＝0与圆【题后反思】求解古典概型交汇问题的思路【考法全练】1.(考向2)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是()A.

512B.13C.14D.16解析：因为a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以样本点总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数.①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1.答案：A△ABC是直角三角形的概率是________.3.(考向3)若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元⊙古典概型与统计的综合应用

[例5](2021年华南师大附中测试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如下不完整的频率分布直方图(图9-5-1)，观察图中的信息，回答下列问题：图9-5-1(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级的数学成绩的中位数；(2)从被抽取的数学成绩是70分及以上的学生中任选2人，求他们在同一分数段的概率.解：(1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.补全的频率分布直方图如图9-5-2.图9-5-2【高分训练】

(2023年博罗县期中)新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来学生是否选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩(满分100分)按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分成5组，制成如图9-5-3所示的频率分布直方图.图9-5-3(1)求图中a的值并估计高一年级本次历史测试成绩的中位数；

(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[0，20)，[80，100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.解：(1)由图知20×(0.005＋a＋0.01＋0.0125＋0.015)＝1，解得a＝0.0075.学生成绩在[0，40)的频率为20×(0.005＋0.01)＝0.3＜0.5，学生成绩在[0，60)的频率为0.3＋20×0.015＝0.6＞0.5.设本次历史测试成绩的中位数为x，则(x－40)×0.015＝0.2，

(2)由(1)知，学生成绩在[0，20)的频数为0.1×100＝10，学生成绩在[80，100]的频数为0.15×100＝15.按分层抽样的方法从中从中任意选取2人，有a1a2，a1b1，a1b2，a1