2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题（含解析）

第第页数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟；2．全卷共三道大题，总分120分；3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.3.由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种4.某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A. B. C. D.5.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（）A. B. C. D.6.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A. B. C. D.7.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.20258.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（）A. B. C. D.9.小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.函数中，自变量x的取值范围是______________．12.如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可）13.将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______．14.如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______．15.已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______．16.若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．17.矩形的面积是90，对角线交于点O，点E是边的三等分点，连接，点P是的中点，，连接，则的值为______．18.如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是______．三、解答题（共66分）19.先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．20.如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）21.某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了______名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．22.在中，，，，以为边向外作有一个内角为的菱形，对角线交于点O，连接，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出的面积．23.如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．24.一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．25.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．26.牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．27.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；（3）在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.【答案】D【解析】解：A、，故该选项是错误的；B、，故该选项是错误的；C、，故该选项是错误的；D、，故该选项是正确的；故选：D．3.【答案】C【解析】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示，故选：C．4.【答案】A【解析】解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是．故选：A．5.【答案】B【解析】解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴∴∵四边形是的内接四边形，∴，故选：B6.【答案】C【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：，解得：（舍去）；故选C．7.【答案】B【解析】解：第1个图案有4个三角形，即，第2个图案有7个三角形，即，第3个图案有10个三角形，即，…，按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：（个）．故选：B．8.【答案】D【解析】过点E作，则，∴，∴设，∵∴，∴∴即，解得：故选D9.【答案】B【解析】解：∵四边形是矩形，∴，由折叠可得：，，，，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，即，故选：B．10.【答案】A【解析】解：设抛物线的解析式为：，∴，，∴，故①正确；∵点C的纵坐标在～之间，∴，即，∴，故②正确；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③错误；∵令相等，则∴，解得（舍），，∴，故④正确；故选A．二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）11.【答案】x≥-3且x≠0【解析】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，解得x≥-3且x≠0．故答案为：x≥-3且x≠0．12.【答案】或（答案不唯一）【解析】解：∵∴，，∴添加条件，可以使得，添加条件，也可以使得，∴；故答案为：或（答案不唯一）．13.【答案】2【解析】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，把点代入得到，，得到，∴，故答案为：214.【答案】【解析】解：∵，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．15.【答案】5【解析】解：∵这组数据有唯一众数8，∴b8，∵中位数是5，∴a是5，∴这一组数据的平均数为，故答案为：5．16.【答案】【解析】解：，化简得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，解得：或（舍去，会使得分式无意义）．故答案为：．17.【答案】13或【解析】解：当时，如图，∵矩形，∴点O是的中点，∵点P是的中点，∴，，∵点E是边的三等分点，∴，，∵矩形的面积是90，∴，∴，∴，∴；当时，如图，∵矩形，∴点O是的中点，∵点P是的中点，∴，，∵点E是边的三等分点，∴，，∵矩形的面积是90，∴，∴，∴，∴；故答案为：13或．18.【答案】①②③⑤【解析】解：∵正方形，∴，，，如图1，作于，则四边形是矩形，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，①正确，故符合要求；如图2，作交于，连接，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴，②正确，故符合要求；∵P是中点，，∴，如图3，连接，由勾股定理得，，，解得，，设，则，，由勾股定理得，，∵，∴，整理得，，解得，或（舍去），∴，，∵，∴，解得，，③正确，故符合要求；由题意知，，∴不相似，，④错误，故不符合要求；∵，∴，，设，，，则，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，同理，，∴，即，同理，，∴，即，∴，将代入得，，整理得，，解得，，∴，⑤正确，故符合要求；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共66分）19.【答案】，取，原式【解析】解：．且，或或．当时，原式．或当时，原式．或当时，原式．20.【答案】17.5米【解析】解：根据题意可知四边形是矩形，．如图，．，．，．（米）答：建筑物的高度约为米．21.【答案】（1）50（2），图形见详解（3）480名【解析】【小问1详解】解：这次被调查的学生人数为：（名）；【小问2详解】“了解较少”所对应的圆心角度数为：，（人）补全图形如下：【小问3详解】（名），估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．22.【答案】图形见解析，的面积为12或36．【解析】解：当时，所作图形如图，作，垂足为，∵菱形，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面积为；当时，所作图形如图，作，垂足为，∵菱形，，∴，，∵，∴，，∴，，∴的面积为；综上，的面积为12或36．23.【答案】（1）（2）【解析】小问1详解】解：把和代入得：，解得，∴二次函数的解析式为；【小问2详解】解：令，则，解得：，，∴点B的坐标为，∴，设直线的解析式为，代入得：，解得，∴直线的解析式为，过点P作轴交于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，∴，∴，∴最大为，∴．24.【答案】（1）70，300（2）（3）或【解析】【小问1详解】解：由图可知，甲车小时行驶的路程为，甲车行驶的速度是，∴A、C两地的距离为：，故答案为：70；300；【小问2详解】解：由图可知E，F的坐标分别为，，设线段所在直线的函数解析式为，则，解得，线段所在直线的函数解析式为；【小问3详解】解：由题意知，A、C两地的距离为：，乙车行驶的速度为：，C、B两地的距离为：，A、B两地的距离为：，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分两种情况，当甲乙相遇前时：，解得；当甲乙相遇后时：，解得；综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．25.【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18【解析】（1）证明：在边上截取，连接．在中，．，．又，．又，，．又，．．．．，．是等边三角形．，，；（2）图②：当点D在线段延长线上时，，证明如下：如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，∵，∴是等边三角形，∴，∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，∴，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴；图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶如图所示，在上取点H使，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，∴，，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）如图所示，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，由（1）可知，，∴；如图所示，当点D在线段的延长线上时，∵，与矛盾，∴不符合题意；如图所示，当点D在线段的延长线上时，∵，，∴，由（2）可知，，∵，∴．综上所述，或18．26.【答案】（1）特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元（2）有3种方案，详见解析（3）特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【解析】【小问1详解】解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分