专题15二次函数与相似综合问题（江苏真题7道模拟30道）-2023年中考数学大题高分秘籍（原卷版）

2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）专题15二次函数与相似综合问题（江苏真题7道模拟30道）【真题再现】直面中考真题，实战培优提升一．解答题（共7小题）1．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．2．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是．③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．3．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．4．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．5．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．6．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．7．（2022•无锡）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质一、解答题1．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴的一个交点为A−2，0，与(1)求抛物线的解析式；(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．2．（2022·江苏镇江·统考一模）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x+1)(x−m)与x轴交于A(−1,0)、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．(1)连接BC，则∠OCB=°；(2)如图2，若⊙P经过A、B、C三点，连接PA、PC，若△PAC与△OBC的周长之比为5(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OAP相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．3．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)请用含m的代数式表示线段PN的长；(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值．4．（2021·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，6．（2022·江苏淮安·统考一模）如图1，抛物线y=ax2+5ax+c经过A3,0，C0,−4，点B在x轴上，且AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)当△CEF是直角三角形时，求点F的坐标；(3)如图2，连接AE，AF，直接写出AE+AF的最小值为：______．7．（2022·江苏镇江·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）与x轴交于A(−1，0)、B(4，0)，交y轴于点C(0，−2)，顶点为P．(1)求抛物线C1(2)抛物线C2：y=max2+bx+c（m①当AQ+CQ的值最小时，点Q的坐标为________；②连接AC、AQ，若∠BAQ=2∠ACO，求点Q的坐标；③抛物线C1上有一个点M，且位于第一象限，若△PQM与△ABC相似，求点Q的坐标．8．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）如图，二次函数y=ax2−6ax+ca<0的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点(1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______；(2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE①求此时抛物线的函数表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点F，使∠BEF=2∠OBE．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·江苏无锡·统考二模）二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．(1)求此二次函数的表达式；(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣76，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．10．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A−1,0，点C0,2，抛物线的对称轴为直线x=32，连接(1)求抛物线的解析式；(2)将△ABC沿直线BC折叠，得到△DBC，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；(3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设EFAF=n，求n的最大值并求出此时点11．（2022·江苏连云港·统考一模）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设PEOE=k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时(3)如图2，D(m,0)是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMN12．（2022·江苏泰州·统考一模）如图，抛物线y=ax2+c(a>0,c>0)，抛物线交y轴于点C，直线AB与抛物线交于A，B两点，与y(1)若d=4，点A(−1，3)，且满足BD=2AD，求点(2)在（1）的条件下，作BE⊥x轴，交x轴于E，试说明A、C、E在同一条直线上；(3)过点B作BE⊥x轴，交x轴于E，若A、C、E始终在同一条直线上，求d、c之间满足的数量关系．13．（2022·江苏盐城·校考一模）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B．(1)求二次函数的表达式和顶点D的坐标；(2)如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积；(3)如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围；(4)如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·江苏泰州·校考一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x1，0)，点C(x2，0)，且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E(m，0)是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．(1)求抛物线解析式．(2)如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB．①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．(3)如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转90°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值．15．（2022·江苏无锡·校考一模）抛物线y＝ax2+c（a<0）与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴上方．(1)如图1，若P(1，2)，A(3，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上异于点P一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC16．（2022·江苏常州·统考一模）如图，二次函数y=14x2+bx+3的图像经过点A8,3，交x轴于点B，C（点B在点(1)填空：b=______；(2)点P是第一象限内抛物线上一点，直线PO交直线CD于点Q，过点P作x轴的垂线交直线CD于点T，若PQ=QT，求点P的坐标；(3)在x轴的正半轴上找一点E，过点E作AE的垂线EF交y轴于F，若△AEF与△EFO相似，求OE的长．17．（2022·江苏连云港·统考一模）如图，已知抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于点(1)则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；(2)设点P(x1,y1)，Q(x2,(3)已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM=90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．18．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，抛物线y=ax22ax3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；(3)若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；19．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝12x﹣2经过B、(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020·江苏苏州·统考二模）如图1，抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B，在x轴上有一动点Em,0（0<m<4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°<α<90°），连接E′A、21．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B3,0两点，与y轴交于C0,−2，对称轴为直线x=54，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y(1)求抛物线与直线BC的函数解析式；(2)设点M的坐标为m,0，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值：(3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．22．（2022·江苏无锡·校考一模）已知二次函数的图像如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若该函数图像与x轴正方向交点为A，与x轴负方向交点为B，与y轴交点为C，顶点为D①求证：△AOC∽△DCB；②连接BC交抛物线对称轴于点E，若抛物线上存在点P满足S△BCP=2S△COE，请直接写出点P的坐标．23．（2022·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别相交于A（−1，0）、B（3，0）两点，与y（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．24．（2022·江苏苏州·统考二模）如图1，二次函数y=−14x2+x的图像与x轴交于点O、点A，顶点为B，点M、N的坐标分别为（0，（1）求点B的坐标．（2）如图2，将函数图像在y轴左侧部分沿x轴翻折，图像其余部分保持不变，得到的新图像记为G．①过点M作y轴的垂线l，当m时，直线l与图像G有且只有两个交点．②请求出翻折后图像的函数关系式．（3）如图3，点Q是第二象限内图像上的动点，当m＞1，n＜0，且∠QMB＝90°时，是否存在点M，使得△QMB与△ABN相似．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．25．（2021·江苏苏州·校考一模）如图，抛物线y=ax2−2ax+c的图象经过点C(0,−2)，顶点D的坐标为1,−83（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC,E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求AEAB（3）点F(0,y)是y轴上一动点，当y为何值时，55（4）点C关于x轴的对称点为H，当55FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点26．（2021·江苏苏州·二模）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(−1,0)点B(3,0)和点C(0,2)，连接AC，线段AB上有一动点P，过点P作AC的平行线交直线BC于点D（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段DE的最大