2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题14直线与圆抛物线学案文含解析

PAGE专题14直线与圆、抛物线1.推断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.(2)代数法:联立直线l与圆C的方程,消去y(或x),得一元二次方程,计算判别式Δ=b2-4ac,Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.2.计算直线被圆截得弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离),弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:弦长公式AB=QUOTE=3.抛物线的焦点弦通过抛物线y2=2pxQUOTE的焦点的直线与抛物线交于AQUOTE,BQUOTE,则:(1)y1y2=-p2,x1x2=QUOTE;(2)若直线AB的倾斜角为θ,则AB=QUOTE=x1+x2+p.1.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,点与线的对称.2.抛物线的定义中指明白抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可相互转化.3.求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类探讨,标准方程有时可设为y2=mx或x2=myQUOTE.1.点到直线的距离应当将直线的方程化为一般式Ax+By+C=0.【案例】T1首先应当将直线y=k(x-2)化为kx-y-2k=0,然后用点到直线的距离求解.2.求过圆外一点的圆的切线时,简单忽视斜率不存在的状况.【案例】T4首先探讨斜率不存在的状况,若所求切线的斜率不存在,则切线方程为x=0,符合题意;当斜率存在的时候,设所求切线的方程为y=kx-1,用点到直线的距离公式求解.考向一【典例】(2024·全国Ⅰ卷)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4考向二【典例】(2024·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(1,0) D.(2,0)1.若直线y=k(x-2)与圆x2+y2=1相切,则k=()A.1 B.±QUOTE C.±QUOTE D.±QUOTE2.已知圆心在y轴上的圆C与直线x=3切于点MQUOTE.若直线3x+4y+m=0与圆C相切,则m的值为 ()A.9 B.7C.-21或9 D.-23或73.若过直线3x-4y+2=0上一点M向圆Γ:(x-2)2+(y+3)2=4作一条切线于切点T,则QUOTE的最小值为 ()A.QUOTE B.4 C.2QUOTE D.2QUOTE4.过点PQUOTE且和圆C:x2+y2-2x+4y+4=0相切的直线方程为 ()A.y+1=0或x=0 B.x+1=0或y=0C.y=1或x=0 D.x-1=0或y=05.若直线ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦长为6,则QUOTE的最小值为 ()A.3+QUOTE B.3+2QUOTEC.5 D.76.直线y=kx+3与圆QUOTE+QUOTE=4相交于M,N两点,若QUOTE≥2QUOTE,则k的取值范围是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE7.如图,过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,设直线AB的倾斜角为θ,若θ∈QUOTE,则QUOTE的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.已知矩形AFKN的四个顶点的坐标分别为AQUOTE,FQUOTE,KQUOTE,NQUOTE,抛物线C的焦点是F,准线是直线KN,过点N作抛物线的两条切线,切点为P,Q,则P,Q两点间的距离为 ()A.4 B.8 C.16 D.329.已知直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,·=0(其中O为坐标原点).若=+,则直线OP的斜率的取值范围是 ()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE∪QUOTED.QUOTE∪QUOTE专题14直线与圆、抛物线///真题再研析·提升审题力///考向一B圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,设圆心为C,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3,设P(1,2),易知点P在圆内部,当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,依据弦长公式最小值为2QUOTE=2QUOTE=2.考向二B将x=2代入y2=2px(p>0)得y=±2QUOTE,由OD⊥OE得kOD·kOE=-1,即QUOTE·QUOTE=-1,得p=1,所以抛物线C:y2=2x的焦点坐标为QUOTE.///高考演兵场·检验考试力///1.D直线y=k(x-2)即kx-y-2k=0,由题意可得,圆x2+y2=1的圆心O(0,0)到kx-y-2k=0的距离等于半径1,即QUOTE=1,解得k=±QUOTE.2.D圆心在y轴上的圆C与直线x=3切于点MQUOTE.可得圆C的半径为3,圆心为QUOTE.因为直线3x+4y+m=0与圆C相切,所以由切线性质及点到直线距离公式可得QUOTE=3,解得m=-23或7.3.D圆Γ:(x-2)2+(y+3)2=4的圆心坐标为QUOTE,半径为2,要求QUOTE的最小值,则圆心到直线3x-4y+2=0的距离最小,为QUOTE=4,所以QUOTE的最小值为QUOTE=2QUOTE.4.A圆C的标准方程为QUOTE+QUOTE=1,圆心为CQUOTE,半径为r=1,因为QUOTE+QUOTE>1,则点P在圆C外.①若所求切线的斜率不存在,则切线方程为x=0,此时圆心到直线x=0的距离为1,合乎题意;②若所求切线的斜率存在,设所求切线的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,圆心C到该直线的距离为d=QUOTE=1,解得k=0,此时所求切线的方程为y+1=0.综上所述,所求切线的方程为y+1=0或x=0.5.B由题得圆的方程可以化为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心为(2,-1),半径为r=3,因为直线ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦长为6,所以直线经过圆心,所以2a+4b-4=0,即QUOTE+b=1,所以QUOTE=QUOTE=3+QUOTE+QUOTE≥3+2QUOTE=3+2QUOTE,当且仅当a=4-2QUOTE,b=QUOTE-1时,取“=”,所以QUOTE的最小值为3+2QUOTE.6.B因为QUOTE≥2QUOTE,设圆心到直线y=kx+3的距离为d,则d=QUOTE≤1,所以d=QUOTE=QUOTE≤1,所以8kQUOTE≤0,解得-QUOTE≤k≤0.7.C设直线AB的方程为y=k(x-1),则C(-1,-2k),当θ=QUOTE时,k=1.直线AB的方程为y=x-1,联立QUOTE所以x2-2x+1-4x=0,解得A(3+2QUOTE,2+2QUOTE),B(3-2QUOTE,2-2QUOTE),C(-1,-2),QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-1)2=3QUOTE-4.当θ=QUOTE时,k=QUOTE,直线AB的方程为y=QUOTE(x-1),联立QUOTE所以3(x-1)2=4x,所以3x2-10x+3=0,所以(x-3)(3x-1)=0,所以A(3,2QUOTE),BQUOTE,C(-1,-2QUOTE),QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.C如图,因为焦点FQUOTE,所以抛物线C的方程为x2=8y,即y=QUOTEx2.设切线方程为y+2=kQUOTE,与抛物线方程联立,消元得QUOTEx2-kx+4k+2=0.因为相切,所以Δ=k2-4×QUOTE=0,即k2-2k-1=0,设k1,k2为两个不同的根,所以k1+k2=2,k1k2=-1,所以两个切点的横坐标分别为4k1,4k2.设点PQUOTE,QQUOTE,因为P,Q都在抛物线上,所以y1=QUOTE,y2=QUOTE,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE=16.9.D如图,设AQUOTE,BQUOTE,因为=+,则PQUOTE,又·=0,即x1x2+y1y2=0,即x1x