2025届高中数学统考第二轮专题复习第21讲不等式选讲限时集训理含解析

第21讲不等式选讲基础过关1.已知函数f(x)=|2x+1|.(1)求不等式f(x)≤1的解集;(2)若对随意的x∈R,f(x2)≥a|x|恒成立,求实数a的最大值.2.已知函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)求不等式f(x)>0的解集;(2)若关于x的不等式|2m+1|≥f(x+3)+3|x+5|有解,求实数m的取值范围.3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=|2x-1|-3|x+1|,设f(x)的最大值为M.(1)求M;(2)若正实数a,b满意1a3+1b3=Mab,证明:a4b+ab实力提升5.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)若f(1)+f(-1)>1,求a的取值范围;(2)若a>0,对随意的x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤y+54+|y-a|恒成立,求a的取值范围.6.已知a,b,c为正实数,且满意a+b+c=1.证明:(1)a-12+|b+c-1|≥12;(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c限时集训(二十一)1.解:(1)由f(x)≤1,可得|2x+1|≤1,即-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0,所以原不等式的解集为[-1,0].(2)对随意的x∈R,f(x2)≥a|x|恒成立,即对随意的x∈R,2x2+1≥a|x|恒成立.当x=0时,a∈R;当x≠0时,a≤2x2+1|x因为2|x|+1|x|≥22,当且仅当2|x|=1|x|所以a≤22.综上可得a≤22,即实数a的最大值为22.2.解:(1)由已知得f(x)=x当x≥12时,由x-3>0,得x>3;当-2<x<12时,由-3x-1>0,得-2<x<-13;当x≤-2时,由-x+3>0时,得x≤综上可得,不等式f(x)>0的解集为-∞,-13∪(3,+∞).(2)依题意得,|2m+1|≥[f(x+3)+3|x+5|]min.令g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10|≥|-2x-5+2x+10|=5,∴|2m+1|≥5,解得m≥2或m≤-3,即实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).3.解:(1)当a=1时,f(x)>1可化为|x+1|-2|x-1|-1>0①.当x≤-1时,不等式①化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式①化为3x-2>0,解得23<x<1当x≥1时,不等式①化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(2)由题设可得,f(x)=x所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1由题设得23(a+1)2>6,故a>2所以a的取值范围为(2,+∞).4.解:(1)函数f(x)=|2x-1|-3|x+1|=|2x-1|-|2x+2|-|x+1|≤|2x-1-2x-2|-|-1+1|=3,当x=-1时,f(x)取得最大值3,即M=3.(2)证明:由(1)知正实数a,b满意1a3+1b3故a4b+ab4=ab(a3+b3)=131a3+1b3(a3+b3)=131+1+a3b3+b3a3≥132+2a3故a4b+ab4≥435.解:(1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|>1.若a≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即a≤-1时不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a)>1,得a<-12,即-1<a<-1若a≥1,则-(1-a)-(1+a)>1,得-2>1,此时不等式无解.综上所述,a的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,则[f(x)]max≤y+54+|y-a|min.当x∈(-∞,a]时,f(x)=-x2+ax,[f(x)]max=fa2=a24因为y+54+|y-a|≥a+54,所以当y∈-54,a时,y+54+|y-a|min=a+54=a+54,于是a24≤a+54,解得-1≤a又a>0,所以a的取值范围是(0,5].6.证明:(1)∵a,b,c为正实数,且满意a+b+c=1,∴b+c-1=-a<0,∴a-12+|b+c-1|=a-12+|-a|≥a-12+(-a)=12,当且仅当a-12(-a)≥0,即0<a≤12时,等号成立,∴a-12+|b+c-1|≥12.(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c2≥3abc1a2=3bca+3