专题19最值问题

专题19最值问题一、单选题1．（2023·山东泰安·校考一模）如图，已知等边△ABC的边长为4，P、Q、R分别为边上的动点，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】如图，作△ABC关于对称的，点E与点Q关于对称，连接，则，可得当点E，R，P在同一直线上，且时，的长就是的最小值，在需要利用等边三角形的性质求出等边三角形的高即可得到答案．【详解】解：如图，作△ABC关于对称的，点E与点Q关于对称，连接，则，∴，∴当点E，R，P在同一直线上，且时，的长就是的最小值，∵，∴，∴由平行线间间距相等可知的长等于等边三角形的高的长∵等边△ABC的边长为4，∴等边三角形的高为，即的最小值为，故选C．2．（2023·安徽合肥·一模）如图，△ABC为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】过A作于F，过点P作于E，故，故，求出即可．【详解】解：过A作于F，过点P作于E，∵△ABC为等边三角形，平分，∴，∴，∴，即的最小值为的长，∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：C．3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，中，，，点D是边上一动点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则的长的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】在上取一点K，使得，连接，，然后证明出△EAC≌△DAK(SAS)，然后根据垂线段最短得到当时，的值最小，最后利用角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，在上取一点K，使得，连接，，∵，，∴，，∴，又∵，，∴△EAC≌△DAK(SAS)，∴，∴当时，的值最小，∵，，，∴，∴，∴．∴的长的最小值为．故选A4．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，△ABC中，，，则边的最大值为（

）A． B． C．8 D．【答案】D【分析】作△ABC的外接圆O，当经过点O时，边的最大，连接，，利用圆周角定理求出，结合条件求出的值即可．【详解】解：作的外接圆O，当经过点O时，边的最大，连接，，，∵，∴，又，，∴，∴边的最大值为．故选：D．5．（2023·山东泰安·校考一模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画圆，是圆上一动点，是上一动点，则最小值是（）A．2 B． C．4 D．3【答案】C【分析】过点作关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可．【详解】解：如图，过点作关于直线的对称点，连接，交于点，交⊙O于点，此时最小，等于，因为四边形是矩形，，，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以的最小值为，故选C．6．（2023·山东淄博·校考一模）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是(

)A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】当点与点重合时，点在处，，当点与点重合时，点在处，，当点在上除点、的位置处时，有，由中位线定理可知：且，则当时，取得最小值，得出的最小值为的长，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图：当点与点重合时，点在处，，当点与点重合时，点在处，，且，当点在上除点、的位置处时，有，由中位线定理可知：且，点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值，矩形中，，，为的中点，、、为等腰直角三角形，，，则，，，，即，的最小值为的长，在等腰直角中，，，的最小值是．故选：D．7．（2023·山东枣庄·校考一模）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】连接，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，在矩形中，，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，则，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，连接，则，∴，∴的最小值为26，即的最小值为26，故选：D．8．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；【详解】解：∵，∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，∵，，∴，，根据勾股定理可得，，∴，故选C．9．（2023·安徽安庆·统考一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的⊙C半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大和最小值，即可解决问题．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，∵，∴，∴，当点G在线段的延长线上时，的值最大，最大值，当点G在线段上时，的值最小，最小值，∴的最大值为3.5，的最小值为1.5，∴DP的最大值与最小值和为．故选D．10．（2023·江苏扬州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．【详解】解：由已知可得，，，三角形是等腰直角三角形，，，又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，当在点时和在点时分别确定的起点与终点，的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，，，，又是等腰直角三角形，，．故选：A．11．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形PAQC，连接，则长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度．【详解】解：，，四边形是平行四边形，＝，＝，最短也就是最短，过作的垂线，，，，，则的最小值为，故选：C．12．（2023·广东惠州·校考一模）已知边长为4的等边△ABC，D、E、F分别为边的中点，P为线段上一动点，则的最小值为（）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】连接，设与相交于点H，首先说明是线段的垂直平分线，可证，即可解决问题．【详解】解：如图，连接，设与相交于点H，∵是等边三角形，D、E、F分别为边的中点，∴，，∴,，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为4．故选：C．13．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，在中，，，，动点M，N分别在边，上则的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】如图，作点C关于直线的对称点P，过点P作于点N，交于点M，连接，此时最小，再通过解直角三角形求出的长即可【详解】如图，作点C关于直线的对称点P，过点P作于点N，交于点M，连接，此时最小.在中，∵，，，∴，∴.又∵，∴，解得.由对称得，.∵，∴.∵，∴，∴，∴，即的最小值为故选：D14．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为，点M的坐标为，N为y轴上一动点，连接．将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．求线段长度的最小值（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，证明是等边三角形，得到，推出；由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，将绕点M顺时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质可得，∴是等边三角形，∴，∴，∵点M的坐标为，∴，由垂线段最短可知，当轴，最小，即最小，此时点N与点重合，∴，故选A．15．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．【详解】解：连接，由对称性得：，∵Q是的中点，∴，∵长的最大值为，∴长的最大值为，如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D，∵，∴，∵B在直线上，设，则，，在中，由勾股定理得：，∴，解得（舍）或，∴，∵点B在反比例函数的图象上，∴；故选：C．16．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，过点作于点，先确定出当点，，三点共线时，最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则当点，，三点共线时，最小，由旋转的性质得：，，是等边三角形，点是的中点，，，又，点是的中点，，，，，，，，在中，，，，，，即的最小值为，故选：B．17．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O经过△ABC的顶点C，与边分别交于点M，N，与边相切．若，则线段长度的最小值是（

）A．3 B．2 C．2 D．【答案】D【分析】作于点F，当CF为的直径时，此时最小，的长度也最小，连接，，过O作于E，根据圆周角定理和垂径定理得到，，，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得直径，然后解直角三角形求得即可．【详解】解：如图，作于点F，∵即为定值，且垂线段最短，∴当CF为⊙O的直径时，此时最小，的长度也最小，连接，，则，过O作于E，则，，∵，，，∴，则，∴，∴，即的最小值为．故选：D．18．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）如图，已知，线段长为6，两端分别在、上滑动，以为边作正方形，对角线、相交于点，连接．则的最大值为（）A． B．8 C． D．9【答案】C【分析】取的中点，连接、，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得，再根据勾股定理求得，即可根据“两点之间线段最短”得，则的最大值为，于是得到问题的答案．【详解】解：取的中点，连接、，，线段长为6，，四边形是正方形，，，，，，的最大值为，故选：C．二、填空题19．（2023·广东佛山·统考一模）如图所示，等边的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为______；【答案】【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短．据此利用勾股定理即可作答．【详解】∵运动过程始终保持，∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短．如图，∵等边△ABC的边长为4，∴，，∵点O为中点，∴，∴，∴最短为：，故答案为：．20．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图，正方形的边长为2，E为边上任意一点（不与B、C重合），沿折叠正方形，使得点B落在，连接，若点F为线段的中点，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据折叠及正方形性质得到，结合F为线段的中点，即可得到，从而得到F为以为直径的圆上的点，连接即可得到答案；【详解】解：连接，以为直径，中点为圆心作圆，连接即可得到最小距离点，如图所示，∵正方形的边长为2，沿折叠正方形，使得点B落在，∴，∵F为线段的中点，∴，∴F为以为直径的圆上的点，连接交圆于一点即为最小距离点，根据勾股定理可得，，∴，故答案为：．21．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在四边形中，连接，与互余，、分别是、的中位线，连接，，若，，则线段的最小值为______．【答案】【分析】延长，交于点H，连接，，判定，结合，确定的最小值即可．【详解】如图，延长，交于点H，连接，，由与互余，可得，∵、分别是、的中位线，∴，，，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，，在中，，由图可得，∴最小值为，即最小值为．故答案为：．22．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，当点与点重合时，的长为______；当点的位置变化时，长的最大值为______．【答案】

【分析】如图中，求出等边的高即可．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论．【详解】解：如图中，四边形是菱形，，，，都是等边三角形，当点与重合时，是等边的高，．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．∵，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，的最小值为，的最大值为．故答案为：，．23．（2023·湖北荆州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为________．【答案】【分析】平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，进而得出，再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．【详解】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，∵，，∴点，作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，∵，∴，连接，则的最小值为，故答案为：．24．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为_____．【答案】【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案．【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接，∵将线段绕着点A顺时针旋转得到，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．∵，∴．∵，且当点G，P，E三点共线时取等号，∴的最小值为．故答案为：．25．（2023·四川巴中·校考一模）如图，在边长为3的等边△ABC中，E、F分别是边、的动点，且，连接、交于点P，连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】由“”可证△ABE≌△CAF，可得，可求，过点，点，点作，则点在上运动，利用锐角三角函数可求，的长，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴，∴，∴，如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接，，∴点P在上运动，∵，∴，，，∴，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，在中，，∴当点P在上时，有最小值，∴的最小值，故答案为：．26．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______．【答案】【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：由作图可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，∵，，∴，∴，，∴的最小值是．故答案为：．27．（2023·广东深圳·统考一模）如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是______．【答案】【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案．【详解】解：∵等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，连接，如图，∵，∴，∴，∴点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，设这段弧所在的圆心为O，连接，如图，则（当且仅当三点共线时取=），∴的最小值即为，设交于点H，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形，∴，∴，∴，∴的最小值为；故答案为；．28．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在平行四边形中，，，，点P是平行四边形内部的一个动点，且，则线段的最小值为_______．【答案】【分析】先由圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，取中点O，连接，则，当且仅当O、P、A共线时取等号，如图，过A作交延长线于E，根据平行四边形的性质和锐角三角形函数定义求得，，进而利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：∵，∴点P在以为直径的圆上，取中点O，连接，则，当且仅当O、P、A共线时取等号，如图，过A作交延长线于E，∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴，，∴在中，，∴，又，∴线段的最小值为．故答案为：．29．（2023·山西晋中·统考一模）如图，点P是双曲线上的一点，过点P作y轴的平行线交直线：于点Q，连接．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四边形面积的最大值是______．【答案】3【分析】设，则，得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到，再根据二次函数的性质求出最大值即可．【详解】解：∵PQ⊥x轴，∴，则，∴PQ＝∵∴,即∴∵∴四边形面积有最大值，最大值是3．故答案为3．30．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是______．【答案】【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，在根据角度以及勾股定理求解最大值．【详解】解：如图旋转，连接以为直径作，以为半径作过点作的切线交于点在和中∴点共圆，点共圆，点在上运动，的半径为∴又∵，∴当点运动到点时，到直线距离的最大，过点作，过点作，，∴四边形是矩形，

是圆心，设解得：（舍去）∴故答案为：．三、解答题31．（2023·广东佛山·校考一模）（1）如图1，⊙A的半径为，，点为⊙A上任意一点，则的最小值为__________；（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据一点到圆上的距离可得当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，即可求解；（2）根据点是的内心，得出，，根据三角形内角和定理即可求解；（3）作的外接圆，连接，，，过作，设的半径为，交的延长线于，由（）可知的最小值为：，证明，结合（2）的结论，则，根据圆周角定理得出优弧所对的圆周角为，则，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】解：当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，的最小值为：；故答案为：．（2）∵，∴，∴，∵点是的内心，∴，，∴，∴；（3）如图，作的外接圆，连接，，，过作，交的延长线于，设的半径为，由（）可知的最小值为：，点是的内心，，，，，由（2）可得，，优弧所对的圆周角为，，又，，是等腰直角三角形，∴，，，由作图可知，，，，故的最小值为：．32．（2023·河北石家庄·统考一模）在中，，，，将绕点C顺时针旋转，得到，连接，设旋转角为．(1)如图1，当经过点B时，①旋转角______°；②求证：．(2)当不经过点B时，连接并延长交直线于点D，设的中点为E，的中点为F．①如图2，连接，在的旋转过程中，线段的长度有变化吗？如果有变化，请说明理由；如果不变，求的值；②如图3，连接，直接写出的最大值．【答案】(1)①60；②见解析;(2)①线段DE的长度没有变化，2；②【分析】（1）①根据，，得到，结合旋转性质得到，判定是等边三角形，计算即可．②根据旋转角为，结合旋转性质判定是等边三角形，证明即可．（2）①根据旋转性质得到，证明，判定是直角三角形，计算即可．②先证明点D、A、B、C都在在以E为圆心，长为半径的上．过F点作的直径，则线段的长即为的最大值．利用中位线定理，三角函数计算即可．【详解】（1）①∵，，∴，根据旋转性质得到，∴是等边三角形，∴，∴旋转角；故答案为：．②证明：∵，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∴．（2）①答：线段DE的长度没有变化．理由如下：在中，∵，，∴．在中，同理可得，∴．设与交点为P，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴是斜边上的中线，∴．在中，∵，，∴．∴．故线段DE的长度没有变化．②的最大值为．解：由①得：，故点D、A、B、C都在在以E为圆心，长为半径的上．如图，过F点作⊙E的直径，则线段的长即为的最大值．∵点E为中点，点F为中点，，，，∴，，∴，∴．即的最大值为．33．（2023·吉林长春·校考一模）如图，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒5个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）．(1)线段的长是______．(2)连结，则线段的最小值是______，最大值是______(3)当点落在△ABC的内部时，求的取值范围．(4)当直线与△ABC的一边垂直时，求出的值．【答案】(1)5;(2)1，5;(3);(4)满足条件的t的值为或或【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根据D点运动轨迹是以C为圆心，长为半径的半圆判断即可；（3）分别求出点P落在，落在上的时间，可得结论；（4）分三种情形：当时，延长交于点R．当时，四边形是菱形，当时，过点作于点H．分别求解即可．【详解】（1）在中，，故答案为：5；（2）∵作点关于的对称点，∴，∴D点运动轨迹是以C为圆心，长为半径的半圆，∴当D在线段上时，的最小，此时；当P与B重合时，的最大，此时点关于的对称点，；故答案为：1，5；（3）由题意得，当点D落在上时，．∵，∴△APC∽△ACB，∴，∴，∴如图12中，当点D落在上时，．过点P作于点T．则，∵，∴，∴∴∴∴，解得，观察图象可知，满足条件的t的值为：；（4）当时，延长交于点R．则，，∵∴∴，∵，∴，∴．解得，如图32中，当时，四边形是菱形，此时，，如图33中，当时，过点作于点H．∵，∴∵∴，∴∵，∴△AHC∽△ACB，∴，∴，解得．综上所述，满足条件的t的值为或或．3