数学本章检测：第二章参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章检测一、选择题(每小题5分,共50分）1.圆（x—1）2+y2=4上的点可以表示为（)A。（-1+cosθ,sinθ）B。(1+sinθ，cosθ）C。(—1+2cosθ，2sinθ)D.(1+2cosθ,2sinθ）答案：D2。已知直线（t为参数）上的A、B两点对应参数分别为t1、t2，点P分成定比λ，那么点P对应的参数为()A.B。C.D。答案：C3。直线3x—4y—9=0与圆(θ为参数)的位置关系是(）A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析:把圆的参数方程化为普通方程,得x2+y2=4，得到半径为2，圆心为（0，0）,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系。答案：D4。参数方程(t为参数）所表示的曲线是(）A。一条射线B。两条射线C.一条直线D.两条直线解析：根据参数中y是常数，可知方程表示的是平行于x轴的直线，再利用不等式知识求出x的范围可得x≤-2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5。若直线l的参数方程是(t为参数)，则过点（4，-1）且与l平行的直线在y轴上的截距为（)A。4B。-4C。2解析：设过点（4，—1）的直线方程为令x=0。得t=-5,代入②得y=-1—3=-4.答案：B6。设r＞0,那么直线xcosθ+ysinθ=r与圆(φ是参数)的位置关系是()A.相交B。相切C.相离D.视r的大小而定解析：根据已知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心（0,0)到直线的距离为d==r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切.答案：B7.设直线l1:(t为参数),如果α为锐角，那么直线l1到直线l2：x+1=0的角是(）A。—αB。+αC。αD.π-α解析：根据方程可知l1的倾斜角为π—α,l2的倾斜角为，根据直线到角的定义,只需让l1逆时针旋转+α即与l2重合.所以直线l1到l2的角为+α.答案：B8.直线(t为参数）上与点P（—2，3）的距离等于的点的坐标是()A.(-4，5)B。(—3,4)C。(-3,4)或(—1，2）D.（-4，5）或（0，1)解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得｜t|=t=±,将t代入原方程,得或∴所求点的坐标为(—3，4）或（—1,2).答案：C9.已知圆的渐开线（φ为参数）上有一点的坐标为（3，0），则渐开线对应的基圆的面积为（）A.πB。3πB。4πD.9π答案：D10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是（）A.πB。2πC.12πD。14π解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为（φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z）.而x=3φ—3sinφ=6kπ.根据选项可知选C。答案:C二、填空题（每小题4分,共20分)11。圆锥曲线（θ为参数）的准线方程是______________________.解析：根据条件和三角函数的性质，可知对应的普通方程为=1，表示的曲线是焦点在y轴的双曲线.且对应的a=3，b=2，c=，所以准线方程是y=。答案：y=12.将参数方程(θ为参数）化为普通方程，所得方程是_______________.解析：由得平方相加得(x-1）2+y2=4。答案：(x-1)2+y2=4.13.（经典回放）若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0,则x—2y的最大值为________________.解析:方程可化为（x—1）2+（y+2)2=5。设（θ为参数）∴x-2y=1+cosθ+4—2sinθ=5—5sin(θ—φ），其中cosφ=,sinφ=。当sin（θ-φ)=—1时，（x—2y）max=10.答案:1014。直线l经过点M0（1，5）,倾斜角是,且与直线x-y—=0交于点M，则｜M0M|的长为_______________________。解析:直线l的参数方程是（t为参数)，代入方程x-y-=0中，解得t=-(10+）,根据t的几何意义可知，｜M0M｜=|t｜=10+.答案：10+15。在圆的摆线上有点(π，0），那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上，参数φ=对应点的坐标为__________________。解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数)，把点（π,0)代入可得cosφ=1,则sinφ=0，φ=2kπ(k∈Z），所以,r=(k∈Z）。又r＞0，所以k∈N*，当k=1时r最大为。再把φ=代入即可.答案：(，)三、解答题(共80分）16。（本小题满分12分）已知圆x2+y2=r2及圆内一点A（a，b）(a、b不同时为零），求被A平分的弦所在的直线方程.解：设所求直线的参数方程为：代入圆的方程x2+y2=r2,整理得t2+2（acosθ+bsinθ)t+a2+b2—r2=0.设t1、t2为方程两根，∵A是中点，∴t1+t2=0，即acosθ+bsinθ=0.∴tanθ=即k=。∴所求直线方程是y-b=，即ax+by=a2+b2。17.（本小题满分12分）A为椭圆=1上任意一点,B为圆(x—1）2+y2=1上任意一点，求｜AB｜的最大值和最小值.分析:化普通方程为参数方程，再求出圆心坐标，利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决。解：化普通方程为参数方程（θ为参数),圆心坐标为C(1，0）,再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC|===所以,当cosθ=时,｜AC｜取最小值为，cosθ=-1时，｜AC|取最大值为6,所以，当cosθ=时,|AB｜取最小值为+1；当cosθ=—1时,|AB|取最大值为6+1=7.18.（本小题满分12分）设抛物线y2=4x有内接三角形OAB，其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称，所以△OAB为等腰三角形.解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0)，F为△OAB的垂心,所以x轴⊥AB，A、B关于x轴对称。设A（4t2，4t）（t＞0)，则B（4t2，-4t）,所以kAF=，kOB==.因为AF⊥OB，所以，kAF·kOB=·（)=-1。所以t2=,由t＞0得t=，所以A(5,）,所以|AB｜=，|OA｜=｜OB｜=,这个三角形的周长为.19.（本小题满分14分)已知点M（2，1)和双曲线x2=1，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程.分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程（t为参数）,代入双曲线的方程，得到关于t的二次方程，设方程的两根分别为t1、t2,若M为弦AB中点,则有t1+t2=0，可得α的方程，从而得到直线的斜率即可得直线的方程。解:设直线l的参数方程是(t为参数），代入双曲线的方程可得关于t的二次方程（2+tcosα）2=1,即（2cos2α—sin2α)t2+(8cosα+2sinα）t+5=0,并设弦的两个端点A、B对应的参数分别为t1、t2.由于M是中点，所以t1+t2=0,即=0.所以，tanα=—4，即直线的斜率是—4.所以,直线的方程是y-1=—4(x-2),即4x+y—9=0.20。(本小题满分14分）过点A（-2,4)引倾斜角为135°的直线l交抛物线y2=2px(p＞0)于P1、P2两点，若|AP1|、|P1P2｜、|AP2｜成等比数列，求P的值.解：设l的参数方程为代入抛物线方程整理得t2+（+p)t+32+8p=0.∴｜AP1｜·｜AP2|=|t1·t2|=32+8p。又｜P1P2｜2=(t1+t2)2—4t1t2=8p2+32p，∴8p2+32p=32+8p，即p2+3p-4=0。∴p=1.21.（本小题满分16分)椭圆=1（a＞b＞0）与x轴正向交于A