人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题24.9切线长定理与内切圆特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.9切线长定理与内切圆【名师点睛】1.切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．2.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．【典例剖析】【例1】（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．【例2】（2021秋•任城区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2019秋•江都区期中）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．203．（2021秋•莆田期末）如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化6．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．107．（2021秋•雨花区校级月考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2020秋•文昌期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44 B．42 C．46 D．479．（2022•平泉市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上（不与B，C重合），点O为△ADC的内心，则∠AOC不可能是（）A．150° B．120° C．110° D．100°10．（2022•馆陶县一模）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点（不与点B重合），若点O是△BEC的内心，则∠COE（）A．大小为定值，等于112.5° B．大小不确定，可以等于90° C．大小为定值，等于127.5° D．大小不确定，随着点E的变化而变化二．填空题（共8小题）11．（2022•新民市一模）已知一个等边三角形的边长是6，那么这个等边三角形内切圆半径是．12．（2022•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE＝110°，则∠A的度数是°．13．（2022•蚌埠二模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若DE∥AM，则∠C的大小为．14．（2022•福建模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，I是△BCD的内心，点O与点I关于直线BD对称，则∠A的度数是．15．（2022•平凉二模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．18．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为．三．解答题（共4小题）19．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．20．（2022春•昌江区校级期末）如图，三所学校分别记作A，B，C，AB＜AC＜BC，体育场记作O，它是△ABC的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一直长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由．21．（2022•巢湖市二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接DB、DC．（1）求证：DB＝DC＝DI；（2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．22．（2021秋•昆明期末）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．求证：OD＝CD．【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.9切线长定理与内切圆【名师点睛】1.切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．2.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．【典例剖析】【例1】（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．【例2】（2021秋•任城区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝80°；∠AEB＝130°．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝130°；（2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD；（3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB＝80°，∴∠ABC+∠BAC＝100°，∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，∴∠BAE+∠ABE＝50°，∴∠AEB＝130°，故答案为：80°，130°；（2）证明：∵∠BAE＝∠CAE，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE，∴BD＝DE，∴DE＝CD；（3）证明：∵＝，∴OD⊥BC，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，又∵OD是半径，∴DG是⊙O的切线．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2019秋•江都区期中）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故选：D．2．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．3．（2021秋•莆田期末）如图，AB、AC、BD分别切⊙O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．4．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．5．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，进而得出答案．【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．6．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10，故选：D．7．（2021秋•雨花区校级月考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用切线长定理求解．【解答】解：∵PA，PB均为⊙O切线，∴PB＝PA＝5，故选：D．8．（2020秋•文昌期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44 B．42 C．46 D．47【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故选：A．9．（2022•平泉市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上（不与B，C重合），点O为△ADC的内心，则∠AOC不可能是（）A．150° B．120° C．110° D．100°【分析】根据三角形的内角和可得∠BAC＝100°，由O为△ADC的内心，可得∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，所以∠AOC＝165°﹣∠DAC，由点D在线段BC上（不与B、C重合），可得0°＜∠DAC＜120°，进而可得105°＜∠AOC＜165°．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵O为△ADC的内心，∴∠OAC＝∠DAC，∠OCA＝∠ACB＝15°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝165°﹣∠DAC，∵点D在线段BC上（不与B、C重合），∴0°＜∠DAC＜120°，∴0°＜∠DAC＜60°，∴105°＜∠AOC＜165°，∴∠AOC不可能是100°．故选：D．10．（2022•馆陶县一模）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点（不与点B重合），若点O是△BEC的内心，则∠COE（）A．大小为定值，等于112.5° B．大小不确定，可以等于90° C．大小为定值，等于127.5° D．大小不确定，随着点E的变化而变化【分析】根据正方形的性质可得∠DBC＝45°，然后根据点O是△BEC的内心，∠OEC＝∠BEC，∠OCE＝∠BCE，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠DBC＝45°，∵点O是△BEC的内心，∴∠OEC＝∠BEC，∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC+∠OCE＝（∠BEC+∠BCE）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COE＝180°﹣（∠OEC+∠OCE）＝180°﹣67.5°＝112.5°．故选：A．二．填空题（共8小题）11．（2022•新民市一模）已知一个等边三角形的边长是6，那么这个等边三角形内切圆半径是．【分析】构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．【解答】解：如图：过O点作OD⊥AB，则AD＝3，因为∠OAD＝30°，所以OD＝tan30°•AD＝．故答案为：．12．（2022•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE＝110°，则∠A的度数是40°．【分析】连接OD，OE，OF，根据切线的性质得到∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，根据四边形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：连接OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，∵∠BDE+∠CFE＝110°，∴∠ODE+∠OFE＝180°﹣110°＝70°，∵OD＝OE，OF＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，∴∠OED+∠OEF＝∠ODE+∠OFE＝70°，∴∠DEF＝70°，∴∠DOF＝2∠DEF＝140°，∴∠A＝360°﹣∠ADO﹣∠AFO﹣∠DOF＝40°，故答案为：40．13．（2022•蚌埠二模）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若DE∥AM，则∠C的大小为30°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM＝BM＝MC，然后证明△BDE是等边三角形，进而可以解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，∴AM＝BM＝MC，∴∠MAB＝∠MBA，∵DE∥AM，∴∠MAB＝∠EDB，∴∠MBA＝∠EDB，∴EB＝ED，∵△ABM的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，∴BD＝BE，∴BD＝BE＝ED，∴△BDE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠C＝30°故答案为：30°．14．（2022•福建模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，I是△BCD的内心，点O与点I关于直线BD对称，则∠A的度数是72°．【分析】连接OB，OD，IB，ID，证得四边形BIDO是菱形，根据菱形的性质和三角形内心的定义推出∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC，设∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC＝x，根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出x，即可求出∠A．【解答】解：连接OB，OD，IB，ID，∵点O与点I关于直线BD对称，∴BO＝BI，DO＝DI，∵BO＝DO，∴BO＝BI＝DO＝DI，∴四边形BIDO是菱形，∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB，∵I是△BCD的内心，∴∠IBD＝∠IBC，∠IDB＝∠IDC，∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC，设∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBD＝∠IBC＝∠IDB＝∠IDC＝x，∵∠C+4x＝180°，∠BOD+2x＝180°，∴∠C＝180°﹣4x，∠BOD＝180°﹣2x，∵∠A＝∠BOD＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，∠A+∠C＝180°，∴180°﹣4x+90°﹣x＝180°，解得x＝18°，∴∠A＝90°﹣18°＝72°，故答案为：72°．15．（2022•平凉二模）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为48．【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，故答案为：48．16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为16cm．【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是72°．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝72°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．18．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为S1+S3＝S2+S4．【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d）＝S2+S4．【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1＝r（a+b），S2＝r（b+c），S3＝r（c+d），S4＝r（a+d），∴S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d），S2+S4＝r（a+d）+r（b+c）＝r（a+b+c+d），∴S1+S3＝S2+S4．故答案为S1+S3＝S2+S4．三．解答题（共4小题）19．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．20．（2022春•昌江区校级期末）如图，三所学校分别记作A，B，C，AB＜AC＜BC，体育场记作O，它是△ABC的内心，O，A，B，C每两地之间有道路相连，一直长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点，指出哪条线路跑的距离最短，并说明理由．【分析】先判断出所跑的路线有三条，得出此三种路线所跑的路程，再判断出△OAB'≌△OAB，OB'＝OB，再比较三条路线中，最短的那条路线，即可得出结论．【解答】解：路线O→A→B→C→O的距离最短；理由：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：第一条路线为：O→A→B→C→O（或O→C→B→A→O），所走的路程为OA+AB