第2章《直线与圆的位置关系》（教师版）

20232024学年浙教版数学九年级下册易错题真题汇编（提高版）第2章《直线与圆的位置关系》考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.51一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•瓯海区四模）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为（）A．25° B．20° C．30° D．35°解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．故选：C．2．（2分）（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．3．（2分）（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）​A．2 B．4 C． D．解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故选：D．4．（2分）（2021春•永嘉县校级期末）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28°，则∠ABO的大小（）A．28° B．34° C．56° D．62°解：∵AB为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°，∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故选：B．5．（2分）（2023•杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（）A． B． C．2α° D．解：∵AD切圆于D，∴半径OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠A＝α°，∴∠AOD＝90°﹣α°，∴∠C＝∠AOD＝（45﹣α）°．故选：A．6．（2分）（2023•西湖区校级二模）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）​A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误解：连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，∵点O为△ABC的内心，∴OB是∠ABC的平分线，又OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE，在Rt△ODM和Rt△OEN中，，∴Rt△ODM≌Rt△OEN（HL），∴∠DOM＝∠EON，在四边形ODBE中，∠ODB＝∠OEB＝90°，∴∠B+∠DOE＝180°，又∠B＝60°，∴∠DOE＝120°，即：∠DON+∠EON＝120°，∴∠DON+∠DOM＝120°，即：∠MON＝120°，故甲的说法正确；过点O作OF⊥MN于点F，∵OM＝ON，OF⊥MN∴OF是∠MON的平分线，MF＝NF，∴MN＝2NF，又∵甲的说法正确；∴∠MON＝120°，∴∠NOF＝∠MOF＝60°，在Rt△NOF中，，∴，∴，∴△MON的周长为：，∴当ON最小时，△MON的周长为最小，根据“垂线段最短”可知：当ON⊥BC时，△MON的周长为最小，∵MN⊥BC，∴ON与BC一定不垂直，∴ON不是最小，∴△MON的周长不是最小，故乙的说法不正确．故选：A．7．（2分）（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C的度数为（）A．42° B．45° C．46° D．48°解：连接OB，∵CB与⊙O相切于B，∴半径OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．故选：D．8．（2分）（2023•瑞安市校级开学）如图，E为Rt△ABC的直角边BC上一点，以CE为半径的半圆与斜边AB相切于点D．已知AD＝6，BD＝4，则⊙E的半径的长为（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2解：连接ED，AE，设圆的半径r，∵AD与半圆相切于D，∴半径ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∵AE＝AE，EC＝ED，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD＝6，∵AB＝AD+BD＝4+6＝10，∴BC＝＝＝8，在Rt△EDB中，∵EB2＝ED2+BD2，∴（8﹣r）2＝r2+42，∴r＝3，∴⊙E的半径的长为3．故选：B．9．（2分）（2022•海曙区校级三模）如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A． B．2 C． D．解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，∵边A1B1与⊙O相切于点E，∴OE⊥A1B1．∵四边形A1B1C1D1是矩形，∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．∴四边形B1EFC为矩形．∴EF＝B1C＝8．∵CD为⊙O的直径，∴OE＝DO＝OC＝AB＝5．∴OF＝EF﹣OE＝3．∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1，∴OF⊥CD1．∴CF＝＝4．由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG．∴sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝．∵sin∠OCF＝，cos∠OCF＝，∴，．∴B1G＝，CG＝．∴BG＝BC﹣CG＝．∴BB1＝＝＝．故选：C．10．（2分）（2020•江北区模拟）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴△O′FG∽△BCA，∴，∴＝，∴O′G＝，∴EG＝，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•西湖区校级三模）如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为6．解：连接OA、OB，如图：∵PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，OA＝OB＝3，∵PO＝6，∴PA＝PB＝＝，∵CD切⊙O于E，∴DB＝DE，CE＝CA，∴△PCD的周长为PD+CD+PC＝PD+（DE+CE）+PC＝（PD+DB）+（CA+PC）＝PB+PA＝3+3＝6，故答案为：6．12．（2分）（2023•杭州二模）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝2．解：连接OP，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝∠PBA＝∠P＝60°，∴△APB是等边三角形，AB＝PA＝2．故答案为：2．13．（2分）（2023•宁波模拟）如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，交AC于点D．若∠CBD＝30°，则∠CAB的度数为30°．解：∵以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CAB+∠ABD＝90°，∴∠CAB＝∠CBD＝30°．故答案为：30°．14．（2分）（2023•宁波模拟）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A＝30°，圆的半径为6，P是线段AC上的动点，当△ABP是直角三角形时，则AP的长为9或12．解：连接OB，如图，∵射线AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，OB＝6，∴AO＝2OB＝12，当∠ABP＝90°时，点P在O点，此时AP＝12；当∠APB＝90°时，如图，∵∠AOB＝60°，∴OP＝OB＝3，∴AP＝AO﹣OP＝12﹣3＝9，综上所述，AP的长为9或12．故答案为：9或12．15．（2分）（2023•乐清市模拟）如图1是我国明末《割圆八线表》中所绘的割圆八线图，如图2，将图1中的丙、戊、乙、庚、辛、丁点分别表示A，B，C，D，E，O，扇形AOD的圆心角为90°，半径为，DE，AB分别切于D点，A点，若BC＝AC，则CE的长为2﹣．解：∵AB是切线，∴∠OAB＝90°，∴∠B+∠AOB＝90°，∠CAB+∠CAO＝90°，∵BC＝AC，∴∠B＝∠CAB，∴∠AOB＝∠CAO，∴AC＝OC，∴AC＝OC＝BC，又∵OC＝OA，∴OB＝2OA，∴在Rt△ABO中，，∴∠AOB＝60°，∵∠AOD＝90°，∴∠EOD＝30°，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴在Rt△ODE中，，∴，故答案为：．16．（2分）（2023•余杭区模拟）如图，在△ABC中，AB，BC分别为⊙O的切线，点E和点C为切点，线段AC经过圆心O且与⊙O相交于点D，若，AD＝，则OB的长为．解：∵BA，BC分别为⊙O的切线，∴∠OEA＝∠C＝90°，由可设OE＝OD＝OC＝3r，AE＝4r，则OA＝5r，∵AD＝，∴，∴，解得：，∴OE＝OD＝OC＝1，∴，∴BC＝AC•tanA＝2，在Rt△OCB中，；故答案为：．17．（2分）（2023•西湖区校级二模）如图，⊙C与正方形ABCD相切点D，点F在⊙O上，点E是CA的中点，连结FC、FE、FA，设∠AFE＝β，∠CFE＝α，当FE∥CD时，则α与β的关系为2β＝α．解：①当FE∥CD时，连接BF，如图，∵⊙C与正方形ABCD相切点D，点E是CA的中点，设FE与BC交点为M，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，FE∥CD，∴EM∥CD∥AB，AB＝BC，∴，∴，即M是BC的中点，∵AB⊥BC，EM∥AB，∴EM⊥BC，即EF是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴BF＝CF＝BC，∴∠BFM＝∠CFE＝α，∵BC＝AB，∴BF＝AB，∴∠BFA＝∠BAF，∵EM∥CD∥AB，∴β＝∠BAF，∴∠BFM＝∠BFA+β＝α，∴β+β＝α，即2β＝α，∴α与β的关系为：2β＝α；故答案为：2β＝α．18．（2分）（2023•永嘉县二模）如图，AB为直径的⊙O与CD相切于点B，连接AC，AD，分别交⊙O于点E，F．连接OE，BF，若OE∥BF，∠CAD＝63°，则∠D的度数为54度．解：连接OF，∵OE∥BF，∴∠EOB＝∠OBF，∵OF＝OB，∴∠OBF＝∠OFB，∵∠EOF＝2∠CAD＝2×63°＝126°，∴∠EOB+∠BOF＝∠OBF+∠BOF＝126°，∵∠OBF+∠OFB+∠BOF＝180°，∴2∠OBF+∠BOF＝180°，∴∠OBF＝54°，∵CD切⊙O于B，∴半径OB⊥CD，∴∠ABD＝90°，∵AB是圆的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠OBF+∠BAF＝∠D+∠BAF＝90°，∴∠D＝∠OBF＝54°．故答案为：54．19．（2分）（2022•宁波模拟）如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG为矩形，∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°．∴CG＝＝3．∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°，∴∠CDG＝∠EDA．∵∠C＝∠E＝90°，∴△CDG∽△EAD．∴，∴，∴DE＝，AE＝．∴AF＝EF﹣AE＝．①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交于点H，过点O作OM⊥FG于点M，如图，∵∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠FAB＝90°．∵∠F＝90°，∴∠FAB+∠FHA＝90°，∴∠EAD＝∠FHA．∵∠E＝∠F＝90°，∴△EAD∽△FHA．∴＝．∴＝，∴AH＝，FH＝．设OA＝x，∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切，∴OM＝OA＝x．∵OM⊥FG，AF⊥FG，∴OM∥AF，∴．∴，解得：x＝．∴OA＝②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图，过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE＝．设OA＝x，∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切，∴OM＝OA＝x．∴ON＝MN﹣OM＝﹣x，∵ON∥FH，∴，∴．解得：x＝2．∴OA＝2；③过点O作OM⊥DE于点M，如图，可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离．综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2．故答案为：或2．20．（2分）（2022•长兴县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为AB上的一个动点，连结CE，DE．若AB＝2，BC＝2，则CE+DE的最小值是．解：过点D作DF⊥AB于点F，延长DF交⊙O于点G，连接CG交AB于点E，如图，∵AB为⊙O的直径，AB⊥DG，∴DF＝FG．∴点D与点G关于AB对称．∴DE＝EG，此时ED+EC最小．∴ED+EC＝EG+EC＝GC．连接OD，AD，DB，∵AB为⊙O的直径，AB＝2，∴OA＝DO＝OB＝AB＝．∵BC，CD是⊙O的切线，∴BC＝CD＝2，OD⊥CD，OB⊥BC，∠CDB＝∠A．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∵DC＝CB，∴∠CDB＝∠CBD．∴∠CDB＝∠A＝∠ADO＝∠CBD．∴△OAD∽△CDB．∴．设AD＝k，则BD＝2k，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD2+BD2＝AB2．∴．∴k2＝．∵∠ADB＝90°，DF⊥AB，∴△ADF∽△ABD，∴．∴AD2＝AB•AF．∴AF＝．∴OF＝AF﹣OA＝．∴BF＝OB﹣OF＝．∵∵∠ADB＝90°，DF⊥AB，∴△ADF∽△DBF．∴．∴DF2＝AF•BF＝．∴DF＝．∴GF＝DF＝．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形CHFB为矩形，∴CH＝BF＝，FH＝BC＝2．∴GH＝FH+FG＝+2＝．在Rt△CHG中，∵CG2＝CH2+HG2，∴CG＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四边形AHOB是矩形；（2）解：连接AD，∵四边形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．22．（6分）（2023•长兴县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，以OB为半径，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，连结BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）已知cos∠ABC＝，AB＝6，求⊙O的半径r．​（1）证明：连接OD，∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，∵，AB＝6，∴BC＝4，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得：．23．（8分）（2023•瑞安市开学）如图，D为Rt△ABC的直角边BC上一点以CD为直径的半圆O与斜边AB相切于点E，BF∥AC，交CE的延长线于点F．已知AC：BF＝3：4．（1）求sin∠ABC的值．（2）若BE＝6，求⊙O的半径的长．解：（1）∵BF∥AC，∴△AEC∽△BEF，∴＝＝，∵CD为⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵AB是⊙O的切线，∴AC＝AE，∴sin∠ABC＝＝；（2）如图，连接OE，∵＝，BE＝6，∴AE＝，∴AB＝，AC＝，∴BC＝＝3，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，∴∠OEB＝∠ACB，∵∠OBE＝∠ABC，∴△OBE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：OE＝，即⊙O的半径的长为．24．（8分）（2023•新昌县模拟）如图，直线AC与⊙O相切于点C，射线AO与⊙O交于点D，E，连结CD．连结CE．（1）求证：∠ACD＝∠AEC；（2）若AC＝，AD＝1，求弧CD的长．（1）证明：连结OC，∵直线AC与⊙O相切于点C，∴∠OCA＝90°，∴∠OCD+∠ACD＝90°，∵ED为⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠OCD+∠ECO＝90°，∴∠ACD＝∠ECO，∴OE＝OC，∴∠ECO＝∠E，∴∠ACD＝∠E；（2）解：设OD＝OC＝r，∵AD＝1，∴AO＝AD+OD＝（1+r），在Rt△OAC中，OC2+AC2＝OA2，∴r2+（）2＝（1+r）2，解得：r＝1，∴OC＝OD＝1，在Rt△AOC中，tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°，∴弧CD的长＝＝，∴弧CD的长为．25．（8分）（2023•萧山区二模）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，延长AB至点D，使得∠DCB＝∠CAB．​（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若∠ACB的角平分线CE交线段AB于点F，交于点E，连接BE，如图②，其中CD＝4，tan∠CEB＝，求CF•CE．（1）证明：如图①，连接OC，则OC＝OA，∴∠OCA＝∠CAB，∵∠DCB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠OCA，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：如图②，作FH⊥AC于点H，则∠CHF＝∠AHF＝90°，∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∴FH＝CH，∵∠A＝∠CEB，∴＝＝tanA＝tan∠CEB＝，∴＝，HA＝2FH，∵∠AHF＝∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∴＝＝，∴FA＝2BF，∵∠DCB＝∠DAC，∠D＝∠D，∴△DCB∽△DAC，∴＝＝＝，∴BD＝CD＝×4＝2，AD＝2CD＝2×4＝8，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，∴2BF+BF＝6，∴BF＝2，FA＝4，∴FH2+（2FH）2＝42，∴CH＝FH＝，∴CF＝＝＝，∵∠E＝∠A，∠EFB＝∠AFC，∴△EFB∽△AFC，∴＝，∴FE＝＝＝，∴CE＝CF+FE＝+＝，∴CF•CE＝×＝．26．（8分）（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．解：（1）∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD＝＝．∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴，∴，∴CE＝．27．（8