专题07 圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型（原卷版）

专题07.圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为．（结果用含的式子表示）例2．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（

）A．36° B．48° C．60° D．72°例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是．

例4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为．

例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是．例6．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．例7．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（

）A． B． C． D．模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）△ABC中，∠A＝80°，点M是△ABC的外心，点N是△ABC的内心，连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠BNC的差为（）A．30° B．35° C．40° D．45°例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为．例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.例4．（2022春·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则．例5．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．例6．（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图，、、、是上的四个点，．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．课后专项训练1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（

）A．10 B．10 C．14 D．162．（2023春·湖北九年级课时练习）已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（

）A． B．C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（

）A．64° B．120° C．122° D．128°5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为()A． B． C． D．6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在中，点为的内心，点在边上，且⊥，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（2023春·湖北九年级期中）点I是的内心，若，则的度数为（）A． B． C． D．或8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（）A．5 B． C．4 D．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（）A．1 B． C． D．13．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°14．（2023·江苏九年级课时练习）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（）A．5+5 B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣1015．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．16．（2023·山东九年级月考）如图，是的内切圆，切点分别为点、、，设的面积、周长分别为、，的半径为，则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（填序号）17．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为.18．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则；（2）若，则．19．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

20．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．21．（2023浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想：(横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；（3）用文字叙述上面证明的结论：；（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．22．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，点I是的内心．(1)求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，，求的长．

23．（2023·山东·九年级专题练习）如图所示，在中，（1）求.（2）求内切圆半径.24．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D．(1)尺规作图：过点D作半圆O的切线，交于点E；(2)求证：；(3)若，，求半圆O的半径长．25．（2023.山东九年级期中）探究问题：

(1)阅读理解：①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接．易知________；第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．26．（2023江苏盐城九年级月考）探究题(1)知识储备：①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．(2)知