数学学案：第三章回归分析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1回归分析学习目标重点难点1.会用最小二乘法求线性回归直线方程．2．会求相关系数，并用其判断相关程度．3．会进行可线性化的回归分析，拟合函数．并根据拟合程度调整函数关系。重点:利用所给数据求线性回归直线方程．难点：函数模型的选取和确立以及函数的拟合.1．回归分析(1)函数关系是一种确定性的关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．（2)线性回归直线方程y＝a＋bx中，b＝eq\f（\i\su（i＝1,n,)（xi－\x\to（x））（yi－\x\to（y)）,\i\su(i＝1，n，)(xi－\x\to(x）)2）＝eq\f(\i\su（i＝1,n,x）iyi－n\x\to（x）\x\to（y）,\i\su（i＝1,n，x）2i－n\x\to（x）2),a＝eq\x\to（y)－beq\x\to(x）。预习交流1线性回归直线方程y＝a＋bx与一次函数y＝a＋kx有何区别?提示：一次函数y＝a＋kx是y与x的确定关系,给x一个值,y有唯一确定的值与之对应，而线性回归直线方程是y与x的相关关系的近似反映,两个数据x，y组成的点(x，y)可能适合线性回归直线方程，也可能不适合．2．相关系数假设两个随机变量的数据分别为（x1,y1),（x2，y2)，…，（xn,yn）,则变量间线性相关系数r的计算公式为:r＝eq\f(\i\su（i＝1，n,）(xi－\x\to(x））(yi－\x\to(y)),\r（\i\su(i＝1，n，）(xi－\x\to(x)）2·\i\su（i＝1,n，）(yi－\x\to（y）)2)）＝eq\f（\i\su（i＝1，n，x）iyi－n\x\to(x）\x\to（y）,\r(\i\su(i＝1，n,x)2i－n\x\to(x）2）\r(\i\su(i＝1，n，y）2i－n\x\to(y）2)).变量之间相关系数r的取值范围为［－1,1］,|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高，|r|值越接近于0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低．当r＞0时,b＞0，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关;当r＜0时，b＜0，一个变量增加,另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关；当r＝0时,称两个变量线性不相关．预习交流2如何由样本的相关系数r＝eq\f（\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x））(yi－\x\to(y）),\r(\i\su（i＝1，n,)（xi－\x\to（x)）2·\i\su(i＝1，n，）(yi－\x\to(y））2））判定两变量的相关性？提示：当r＞0时，表明两个变量正相关,当r＜0时，表示两个变量负相关，r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两变量之间几乎不存在线性相关关系，通常当｜r｜＞0。75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．3．可线性化的回归分析通过变换先将非线性函数转化成线性函数,利用最小二乘法得到线性回归方程,再通过相应变换得到非线性回归方程．预习交流3如何将函数y＝aebx转化为线性函数？提示:先对y＝aebx两边取对数得lny＝lna＋bx.若记u＝lny，c＝lnA．则u＝c＋bx，就把函数y＝aebx转化成了线性函数u＝c＋bx.一、线性回归方程的求法某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升）与消光系数如下表：汞含量x246810消光系数y64138205285360（1)作散点图；(2）如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程．思路分析：求线性回归方程必须先对两个变量进行相关性判断，若两个变量存在较大的相关性，则可利用公式求线性回归方程的系数;若两个变量不具备相关关系，则求线性回归方程将变得毫无意义．解:（1）散点图如图．(2）由散点图可知，y与x呈相关关系，设线性回归方程为：y＝bx＋A．经计算,得eq\x\to（x）＝6，eq\x\to(y)＝210。4，eq\o（∑，\s\up6（5),\s\do4(i＝1)）xeq\o\al（2,i）＝220,eq\o(∑,\s\up6（5)，\s\do4（i＝1)）xiyi＝7790.∴b＝eq\f(7790－5×6×210。4，220－5×62)＝36。95，a＝210。4－36.95×6＝－11。3。∴线性回归方程为：y＝36。95x－11.3.已知两个变量x和y之间具有线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验,并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是(）．A．l1与l2一定有公共点(s，t） B．l1与l2相交，但交点一定不是（s，t）C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合答案：A解析：由于回归直线y＝bx＋a恒过(eq\x\to（x)，eq\x\to（y）)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s,对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点（s，t）．作出散点图可直观地判断两个变量的相关关系．线性回归直线方程y＝bx＋a一定过样本中心（eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．二、相关系数及相关性检验现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试中的数学成绩（y)，数据如下表：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771试问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关关系?思路分析：先利用相关系数计算公式r＝eq\f(\i\su（i＝1,n，x)iyi－n\x\to（x)\x\to（y)，\r（(\i\su(i＝1，n，x)2i－n\x\to(x）2）（\i\su（i＝1，n，y)2i－n\x\to(y）2）））计算出r,当｜r|越接近于1时，两个变量越具有很强的线性关系．解：由题意得：eq\x\to(x)＝eq\f（1,10)（120＋108＋…＋99＋108）＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f（1，10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1，10,x）2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su（i＝1，10，y)2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1，n，x）iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796,∴r＝eq\f(73796－10×107。8×68，\r（（116584－10×107。82）·（47384－10×682））)≈0。7506。∵0。7506接近于1，∴两次数学考试成绩有显著性线性相关关系．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短．必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示:x（0。01%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125（1）y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程．（3)预测当钢水含碳量为160个0。01%时，应冶炼多少分钟?解：（1）列出下表,并用科学计算器进行计算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to（x）＝159。8,eq\x\to(y）＝172，eq\o(∑,\s\up6（10），\s\do4(i＝1))xeq\o\al（2,）i＝265448，eq\o(∑，\s\up6(10),\s\do4（i＝1））yeq\o\al（2,）i＝312350，eq\o（∑，\s\up6（10）,\s\do4（i＝1）)xiyi＝287640于是r＝eq\f（\o(∑,\s\up6(10）,\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to（x)\x\to(y），\r（（\o（∑，\s\up6(10）,\s\do4（i＝1））x\o\al（2,i）－10\x\to（x）2）(\o（∑，\s\up6(10）,\s\do4(i＝1））y\o\al（2，i）－10\x\to（y)2)))≈0.9906.∵0.9906非常接近于1,∴y与x具有显著的线性相关关系．（2）设所求的线性回归方程为y＝bx＋a，其中a，b的值使Q＝eq\o（∑，\s\up6(10)，\s\do4（i＝1）)(yi－bxi－a）2的值最小．b＝eq\f(\o(∑,\s\up6（10),\s\do4（i＝1))xiyi－10\x\to(x）\x\to(y),\o（∑，\s\up6(10）,\s\do4（i＝1））x\o\al(2，i)－10\x\to（x)2）≈1.267，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）≈－30。47,即所求的线性回归方程为y＝1。267x－30。47。（3）当x＝160时,y＝1.267×160－30.47≈172,即大约冶炼172min.如果两个变量不具备线性相关关系或者线性相关关系不显著，即使求出线性回归方程也无意义，用于估计和测量的结果也是不可信的．1．在下列各量与量之间的关系中是相关关系的是()．①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的小麦的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某家庭用水量与水费之间的关系．A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④答案：D解析:①⑤属于函数关系，②③④属于相关关系．2．在建立两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数r如下，其中拟合得最好的模型为(）．A．模型1的相关指数r为0。75 B．模型2的相关指数r为0。90C．模型3的相关指数r为0.25 D．模型4的相关指数r为0.55答案：B解析：相关指数|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好．3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b(）．A．可以小于0 B．大于0 C．能等于0 D．答案：A解析：因为b＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系,但b可以大于0也可以小于0。4．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：x24568y3040605070若y与x之间是线性相关关系，若实际销售额不低于82。5万元，则广告费支出最少是______万元．答案：10解析：由已知eq\x\to（x）＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su（i＝1，5，x）2i＝145，eq\i\su（i＝1,5，y)2i＝13500，eq\i\su（i＝1,n,x）iyi＝1380，∴b＝eq\f(1380－5×5×50，145－5×25）＝6。5。∴a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x）＝17.5。∴回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.∴由y≥82.5,即6。5x＋17。5≥82.5，解得x≥10。故广告费支出最少是10万元．5．有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化,下面是实验中记录的数据。机床运转的速度(转/秒)每小时生产二级品的数量(个)851281491611(1）作出散点图．（2)求出机床运转的速度x与每小时生产的二级品数量y的回归直线方程．(3）若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？解：（1）散点图如下：(2）易求