25　第五章　5.3　5.3.1　第2课时　函数单调性的应用

第2课时函数单调性的应用[学习目标]1．进一步理解函数的导数和其单调性的关系．(数学运算)2．能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．(数学运算)[讨论交流]问题1．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(或递减)，则f′(x)满足什么条件？问题2．对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1讨论含参函数的单调性[典例讲评]1．已知函数f(x)＝lnx－12ax2＋(1－a)x＋32a(a∈R)，判断函数f(x[尝试解答](1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．[学以致用]1．求函数f(x)＝1x2＋alnx(a∈R探究2根据函数的单调性求参数的取值范围探究问题1如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)有什么特点？探究问题2如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在单调递增区间，则f′(x)有什么特点？[新知生成]导数的符号与函数单调性的关系(1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在D上________；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在D上________．(2)若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒________．需要检验f′(x)＝0不能恒成立．(3)若函数f(x)在D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解．若函数f(x)在D上存在单调递减区间⇒________．[典例讲评]2．已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．[思路导引]f(x)为增函数→[尝试解答][母题探究]1．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1，1)，求a的值．2．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．3．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．利用函数的单调性求参数，常用方法如下：1函数f(x)在区间D上单调递增⇒________在区间D上恒成立2函数f(x)在区间D上单调递减⇒________在区间D上恒成立3函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号________4函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得________成立5函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得________成立6若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的________，从而求出参数的取值范围[学以致用]2．已知a∈R，函数f(x)＝x3－6x2＋3(4－a)x．(1)若曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x－3y＝0垂直，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(1，4)上单调递减，求a的取值范围．探究3根据函数的单调性比较大小或解不等式[典例讲评]3．(1)函数f(x)＝sinx＋2xf′π3，f′(x)为f(x)的导函数，令a＝12，b＝log32，则下列关系正确的是(A．f(a)＜f(b) B．f(a)＞f(b)C．f(a)＝f(b) D．f(a)≤f(b)(2)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集是()A．(－3，－2)∪(2，3)B．(－2，C．(2，3)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[尝试解答](1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小．(2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系．[学以致用]3．(1)设函数f(x)＝2x＋sinx，则()A．f(1)＞f(2) B．f(1)＜f(2)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数且连续，当x＞0时，f′(x)＜0，若f(lgx)＞f(1)，则x的取值范围是________．1．若函数f(x)＝－cosx＋ax为增函数，则实数a的取值范围为()A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝x＋lnx，则下列选项正确的是()A．f(e)＜f(π)＜f(2.7) B．f(π)＜f(e)＜f(2.7)C．f(e)＜f(2.7)＜f(π) D．f(2.