新高考数学专题复习专题38数列中的通项公式专题练习(学生版+解析)

专题38数列中的通项公式一、题型选讲题型一、由的关系求通项公式例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；题型二、由的递推关系求通项公式例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（）A． B．C． D．例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中．（i）求数列的通项公式；题型三、新定义题型中通项公式的求法例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（）A．16 B．17 C．18 D．192、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．求和的通项公式；3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的通项公式6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．（1）求数列的通项公式；8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；专题38数列中的通项公式一、题型选讲题型一、由的关系求通项公式例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；【解析】因为,,所以,,两式相减得,整理得,即,,所以为常数列,所以,所以例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；【解析】设的公比为q.因为成等差数列，所以，即.因为，所以.因为，所以.因此.由题意，.所以，，从而.所以的公差.所以.例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；【解析】当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；题型二、由的递推关系求通项公式例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.【解析】（1）由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，，．所以，．例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，因此，.故选：B.例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中．（i）求数列的通项公式；【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．所以，的通项公式为的通项公式为．（2）（i）．所以，数列的通项公式为．题型三、新定义题型中通项公式的求法例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；【解析】（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，也即，此式对一切正整数n均成立．若，则恒成立，故，而，这与是等差数列矛盾．所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）（2）因为数列是“”数列，所以，即．因为，所以，则．令，则，即．解得，即，也即，所以数列是公比为4的等比数列．因为，所以．则例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q末项为的一个递增子列为.由p<q，得.因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，又是的长度为p的递增子列，所以.所以·（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.假设2m排在2m−1之后.设是数列的长度为m末项为2m−1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是中的项.假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.又中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.与已知矛盾.最后证明：2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.所以二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】当时，，即，且.故，，故.故选：.2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．求和的通项公式；【解析】当时，，当时，==，所以．所以，于是，解得或（舍）所以=．3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；【解析】证明：因为，所以．因为所以所以．又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；【解析】对任意，有，①当时，有，解得或.当时，有.②①-②并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，，此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.，.5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的通项公式【解析】（1）设等差数列首项为，公差为．由已知得，解得．于是．（2）当时，．当时，，当时上式也成立．于是．故．6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；【解析】由，得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，当时，，当时，，也满足上式，所以；7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．（1）求数列的通项公式；【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得．从而．所以，由成等比数列得．解得．所以．8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数