第22讲 截面问题

第22讲截面问题【典例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为()A．矩形B．三角形C．正方形D．等腰梯形【解析】取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．【典例2】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).故选A.【典例3】平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)【解析】如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，∴m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故选A.【典例4】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是()A．当0<CQ<eq\f(1,2)时，S为四边形B．当CQ＝eq\f(1,2)时，S为等腰梯形C．当CQ＝eq\f(3,4)时，S与C1D1的交点R满足C1R＝eq\f(1,3)D．当eq\f(3,4)<CQ<1时，S为六边形【解析】当Q为中点，即CQ＝eq\f(1,2)时，截面APQD1为等腰梯形，故B正确；当0<CQ<eq\f(1,2)时，只需在DD1上取点M使PQ∥AM，即可得截面APQM为四边形，故A正确；当CQ＝eq\f(3,4)时，如图，延长AP交DC于M，连接MQ，并延长交C1D1于R，交DD1于N，∵CQ＝eq\f(3,4)，∴DN＝eq\f(3,4)×2＝eq\f(3,2)，∴D1N＝eq\f(1,2)，∴eq\f(D1N,DN)＝eq\f(1,3)，∴deq\f(D1R,DM)＝eq\f(1,3)，∴D1R＝eq\f(1,3)DM＝eq\f(2,3)，∴C1R＝eq\f(1,3)，故C正确；当eq\f(3,4)<CQ<1时，在上图中只需将Q上移，此时截面形状仍是APQRT，为五边形，故D不正确．【典例5】如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．【解析】由题意知OA，OB，OC两两垂直，可将其放置在以O为顶点的长方体中，设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，利用等体积法易得S1＝eq\f(1,4)aeq\r(b2＋c2)，S2＝eq\f(1,4)beq\r(a2＋c2)，S3＝eq\f(1,4)ceq\r(a2＋b2)，∴Seq\o\al(2,1)－Seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,16)(a2b2＋a2c2)－eq\f(1,16)(b2a2＋b2c2)＝eq\f(1,16)c2(a2－b2)，又a>b，∴Seq\o\al(2,1)－Seq\o\al(2,2)>0，即S1>S2，同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3<S2<S1.【方法总结】确定截面的主要依据有(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．【典例6】如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.【典例7】半径为r的球内切于一个正三棱锥，求此正三棱锥的全面积的最小值。【分析】：有关两个几何体相接或相切的问题，一般总要选取一个适当的截面，这个截面要能充分反映这两个几何体的特点，并能反映它们之间的关系。本例中，由对称性，棱锥的高必通过内切球球心，因此应该过高SO1及一条侧棱作一截面，将空间问题转化成平面问题。【解析】解：如图1—6，过正三棱锥高SO1与一侧棱SC作截面，交棱AB于中点D。在此截面上，球的大圆O与SD及CD相切，OD平分∠SDC，设∠SDC=θ，则【典例8】底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱，求此棱柱体积的最大值。【分析】：棱锥的高并不通过四棱柱上下底面中心，因此过棱锥的高作截面不能充分的映两个几何体的关系。应过棱柱上底面作截面，此截面是正三角形，四棱柱上底面是这个正三角形的内接正方形（见图1—7）。【解析】解：设四棱柱的高为x，底面边长为b，则在中，得∴∴体积最大值为【典例9】在例9中，将圆锥改成正三棱锥，θ为侧棱与底面夹角，内部放三个两两相切的半径为r的等球，每个球与棱锥两个侧面及底面部相切，求该棱锥体积。【分析】：过三棱锥的一条侧棱作对称截面，该截面通过一球的球心及棱锥的高，但此截面仅反映了此球与棱锥底面相切的关系（如图1—10）。注意，此球与侧棱SA并不相切。仿上例，过三个球心作截面（如图1—9），C此时外轮廓不是圆，而是三角形，可求得为了反映小球与棱锥侧面相切的关系，过O1及球O1与底面切点，球O1与侧面SAB的切点G作截面（如图1—11），该截面与棱AB的交点为H，易证∠GH是棱锥侧面与底面所成二面角的平面角，设为，可得。于是，在底面ABC上可求得，再在截面SAD上求得。以下，问题就不难解决了。解：略。【典例10】已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且BE=2AE，AF=2FC。求四面体AEFD的外接球球心与内切球球心之间的距离。【分析】：先估计内切球球心与外接球球心的大致位置。由于内切球与原正四面体ABCD的三个侧面相切，因此球心N应在高AO上（如图1—14）。再估计外接球球心M的位置，由于M到A、E、F三点距离相等，因此M点一定在过△AEF外心且与平面AEF垂直的直线上，再由MA=MD来确定M点的位置。【解析】解：设四面体AEFD内切球半径为r，球心N，外接球半径R，球心M。连结NA、NE、NF、ND，则各面的面积为：，△DEF各边边长分别为：EF=，DF=DE=，∴四面体ADEF的体积，∴如图1—14，△AEF是直角三角形，其外心是斜边AF的中点G，设△ABC中心为O1，连DO1，连DO1，过G作平面AEF的垂线，M必在此垂线上。连结GO1，MD，在直角梯形GO1DM中，GO1=1，DO1=，MD=R，（在Rt△AGM中，AM=R，AG=1），于是可得（DO1－MG）2+GO12=MD2即解得过正四面体ABCD的高AO及一棱AD作截面（如图1—15），G′是内切球与面ABC的切点，∴且△ANG′∽△AKO，∴∴，G点在截面AKD上射影恰为G′。作GM在截面AKD上的射影G′M′，N点在G′M′上。GM与截面AKD的距离为又∵∴即四面体ADEF的外接球球心与内切球球心间的距离为说明：（1）要善于利于截面及射影，将空间问题转化成平面问题。（2）本例问题也可利用空间坐标系来解决。【典例11】在棱长为a的正四面体ABCD中，过A点作一截面与平面BCD成θ角，且截面为等腰三角形，求截面面积。【解析】以底面中心O为圆心，为半径作圆，截面与底面交线必与此圆相切。以下分几种情况：（1）若截面三角形的一腰在底面上，则截面与底面交线必过底面三角形一顶点，可求得截面面积。（2）若截面三角形的底在底面上，设底为EF，分两种情况：①EF与△BCD一边平行，则②EF与△BCD任一边都不平行，不妨设E、F分别在BD、DC上，则必有BE=DF。可解得当θ取不同值时，以上有些截面可能不存在，通过讨论，可得结论如下：当时无解；当时有一解：当时有四个解：，；当时有三个解，以上S1与S3合为一解；当时有三个解，无以上S3；当时，有两个解，以上S1、S2合成一个，得另一解即以上S4，得。【典例12】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．【解析】作法：①在底面AC内，过E，F作直线E