核心考点05反比例函数2

核心考点05反比例函数考点精讲目录一．反比例函数的定义（共2小题）二．反比例函数的图象（共3小题）三．反比例函数图象的对称性（共1小题）四．反比例函数的性质（共5小题）五．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）八．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）九．根据实际问题列反比例函数关系式（共1小题）十．反比例函数的应用（共3小题）十一．反比例函数综合题（共3小题）考点考向考点考向一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．十一．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．考点精讲考点精讲一．反比例函数的定义（共2小题）1．（2022春•余杭区期末）已知y是关于x的反比例函数，x1，y1和x2，y2是自变量与函数的两组对应值．则下列关系式中，成立的是（）A．x1x2＝y1y2 B．x1y1＝x2y2 C． D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得x1y1＝x2y2，进而得到答案．【解答】解：∵y是关于x的反比例函数，∴k＝xy，∵x1，y1和x2，y2是自变量与函数的两组对应值，∴x1y1＝x2y2，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．2．（2022春•浦江县校级期中）函数y＝是反比例函数，则m＝﹣1．【分析】由反比例函数的定义可知|m|＝1，且m﹣1≠0，从而可求得m的值．【解答】解：∵y＝是反比例函数，∴|m|＝1，且m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．二．反比例函数的图象（共3小题）3．（2022春•钱塘区期末）描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的性质可知函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规律，把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．【解答】解：∵k＝1，∴函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，函数y＝与函数y＝的关系是解题的关键．4．（2021春•北仑区校级期末）小明在学习过程中遇到了一个函数y＝+1，小明根据学习反比例函数y＝的经验，对函数y＝+1的图象和性质进行了探究．（1）画函数图象：[问题1]函数y＝+1的自变量x的取值范围是x≠2；①列表：如表．x…﹣6﹣21034610…y…0﹣3﹣1﹣79532…②描点：点已描出，如图所示．③连线：[问题2]请你根据描出的点，画出该函数的图象．（2）探究性质：根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象，回答下列问题：[问题3]①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是（2，1）；[问题4]②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为向右平移2个单位，再向上平移1个单位；[问题5]③结合函数图象，请直接写出+1≥﹣1时x的取值范围x≤0或x＞2．【分析】（1）分母不为零；画图象；（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象即可得出结论．【解答】解：（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是：x≠2，故答案为：x≠2；如图所示，（2）根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象可知：①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是（2，1）；②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为：向右平移2个单位，再向上平移1个单位；③结合函数图象，+1≥﹣1时x的取值范围是x≤0或x＞2．故答案为（2，1）；向右平移2个单位，再向上平移1个单位；x≤0或x＞2．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图象、增减性，熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．5．（2020春•北仑区期末）小王为探究函数y＝（x＞3）的图象经历了如下过程．（1）列表，根据表中x的取值，求出对应的y值，将空白处填写完整；x…3.544.555.56…y…6321…（2）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象；（3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝图象的变化，猜想由y＝的图象经过向x轴的负方向平移3个单位的平移变化可以得到y＝（x≠﹣3）图象．y＝（x≠﹣3）的对称轴是直线y＝x﹣3与直线y＝﹣x+3．【分析】（1）当x＝3.5时，y＝＝6，同理当x＝5.5时，y＝；（2）描点描绘出以下图象，（3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝图象的变化和函数的图象即可得到结论．【解答】解：（1）当x＝3.5时，y＝＝6，同理当x＝5.5时，y＝，故答案为6，；（2）描点描绘出以下图象，（3）猜想由y＝的图象经过向x轴的负方向的平移3个单位可以得到y＝（x≠﹣3）图象．y＝（x≠﹣3）的对称轴是直线y＝x+3与直线y＝﹣x﹣3．故答案为平移3个单位，直线y＝x+3与直线y＝﹣x﹣3．【点评】本题考查的是反比例函数图象、轴对称的性质，数形结合是解题的关键．三．反比例函数图象的对称性（共1小题）6．（2021春•上城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（2a，a）是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是4．【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的．【解答】解：把P（2a，a）代入y＝得2a•a＝2，解得a＝1或﹣1，∵点P在第一象限，∴a＝1，∴P点坐标为（2，1），∴正方形的面积＝4×4＝16，∴图中阴影部分的面积＝S正方形＝4．故答案为4．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y＝﹣x；②一、三象限的角平分线y＝x；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质（共5小题）7．（2022春•西湖区期末）已知反比例函数y＝，若y＞1，则x的取值范围为0＜x＜3．【分析】由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围．【解答】解：∵y＝，∴该函数图象在第一、三象限，当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；∴当y＞1时，则＞1，x＞0，解得，0＜x＜3，故答案为：0＜x＜3．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．8．（2022春•东阳市期末）已知反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（）A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1【分析】反比例函数y＝，当k＞0时图象在第一、三象限即可得答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，∴a﹣1＞0，解得a＞1，故选：C．【点评】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质．9．（2022春•余杭区期末）反比例函数y＝，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝±6．【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴，解得k＝6，当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴，解得k＝﹣6，综上所述，k＝±6．故答案为：±6．【点评】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键要对于k的值要分情况讨论．10．（2022春•余杭区期末）对于函数，小明根据学习一次函数和反比例函数的经验，研究了它的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是x≠2．x…﹣101345…y…﹣2﹣3﹣6632…（2）根据列表计算的部分对应值，在平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象．（3）从中心对称和轴对称的角度分析图象特征，并说说这个函数的增减性．【分析】（1）由分式的分母不为0即可求解；（2）描点连线，即可画出函数图象；（4）根据函数图象即可得到．【解答】解：（1）要使函数有意义，则x﹣2≠0，解得x≠2，故答案为：x≠2．（2）函数图象如图所示：（3）根据图象可知，函数的图象关于点（2，0）成中心对称，关于直线y＝﹣x+2或直线y＝x﹣2成轴对称，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．11．（2021春•鄞州区期末）如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象分别与边AB、BC相交于点D、E．连结OD，OE，恰有∠AOD＝∠DOE，∠ODE＝90°，若OA＝3，则k的值是．【分析】过点D作DF⊥OE于点F，设AD＝a，EB＝b，OA＝3，先证明△ADO≌△FDO（AAS），再证明△DFE≌△DEB（AAS），则可得到OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，则有OE＝6﹣b，AB＝2a，并能求得D（a，3），E（2a，b），由已知D、E在反比例函数y＝上，则有3a＝2ab，求出b＝，在Rt△OEC中，根据勾股定理可求a＝，则可求k＝．【解答】解：过点D作DF⊥OE于点F，∵∠AOD＝∠DOE，∠BAO＝∠DFO＝90°，OD＝OD，∴△ADO≌△FDO（AAS），∴AD＝DF，AO＝OF，∠ADO＝∠ODF，∵∠ODE＝90°，∴∠ODF+∠FDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠FDE＝∠AOD，∵∠ADO+∠BDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠BDE，∴∠FDE＝∠BDE，∵∠B＝∠DFE＝90°，∴△DFE≌△DEB（AAS），∴EF＝BE，DB＝DF，设AD＝a，EB＝b，OA＝3，∴OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，∴OE＝6﹣b，AB＝2a，∴D（a，3），E（2a，b），∵D、E在反比例函数y＝上，∴3a＝2ab，∴b＝，在Rt△OEC中，OC＝2a，OE＝6﹣b＝，EC＝，∴a＝，∴k＝，故答案为．【点评】本题考查反比例函数与矩形的综合，作出过点D作DF⊥OE于F的辅助线，利用三角形全等和勾股定理求出A点坐标是解题的关键．五．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）12．（2022春•温州期末）如图，点A，B依次在反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象上，AC，BD分别垂直x轴于点C，D，AE⊥y轴于点E，BF⊥AC于点F．若OC＝CD，阴影部分面积为6，则k的值为4．【分析】根据点A的坐标可得点B的坐标，进而利用阴影部分面积为6，求出k的值．【解答】解：设点A（m，），∵OC＝CD，∴B（2m，），∵阴影部分面积为6，CD＝2m﹣m＝m，∴＝6，解得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．13．（2021春•苍南县期末）如图，点A（m，1）和点B在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD＝3AC．（1）若AD＝BD，求k的值．（2）连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标可得AC＝1进而得出CD＝3，由AD＝BD可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可；（2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形OBCD的面积求出m即可．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵点A（m，1），∴OC＝m，AC＝1，又∵CD＝3AC．∴CD＝3，∴AD＝BD＝3﹣1＝2＝EC，∴点B（，3），∴m﹣＝2，解得m＝3，∴点A（3，1），∵点A（3，1）在反比例函数的图象上，∴k＝3，（2）由（1）可知点A（m，1），点B（，3），即OC＝m，OE＝，则BD＝EC＝m﹣＝，由于四边形OBDC的面积为6，∴（+m）×3＝6，解得m＝，∴点B（，3）．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．14．（2021春•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中矩形OABC的长和宽分别为4和2，反比例函数y＝的图象过矩形对角线的交点D．（1）求k的值；（2）求△OAD的面积．【分析】（1）由长和宽分别为4和2求出点D的坐标，得到k的值；（2）由三角形的面积公式求△OAD的面积．【解答】解：（1）∵矩形OABC的长为4，宽为2，∴D（2，1），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝2×1＝2，（2）∵点D（2，1），OA＝2，∴S△OAD＝×2×2＝2．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、矩形的对角线互相平分、三角形的面积．突破点是由矩形的长和宽求出点D的坐标．15．（2022春•衢江区期末）如图，在反比例函数的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2．若S2＝3，则S1的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，得P1（1，k），P2（3，），P3（6，），由S2＝3，可求出k的值，进而求出S1的值．【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，），P3（6，），∴S2＝3×＝3，∴k＝6，∴S1＝1×（k﹣）＝4．故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）16．（2022春•临海市期中）某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整．（1）写出函数的自变量的取值范围x≠2；（2）下表是函数y与自变量x的几组对应值：则m＝，n＝3；x…﹣3﹣2﹣10134567…y…0.6m11.53n1.510.750.6…（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象；（4）根据函数图象，写出函数的性质（至少两条）．【分析】（1）根据分式分母不为零列式求解即可；（2）把x＝﹣2和y＝m分别代入即可求得；（3）画出函数图象即可；（4）根据图象得出结论．【解答】解：（1）根据分式分母不能为零可知，函数的自变量x的取值范围是：x≠2；故答案为：x≠2；（2）把x＝﹣2，y＝m代入得，；把x＝3，y＝m代入得，，故答案为：，3；（3）如图所示：（4）由图象得可得①图象关于x＝2对称；②图象全部在x轴上方（答案不唯一）．【点评】本题考查反比例函数图象和性质，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图象、熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．17．（2022春•海曙区校级期中）若点A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函数y＝上，且x1＞x2，则m的取值范围是m＜1．【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵点A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函数y＝上，且x1＞x2，∴点A（x1，﹣2）第四象限，点B（x2，3）在第二象限，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于中考常考题型．18．（2022春•东阳市期末）如图，双曲线y＝（x＞0）经过等腰△ABC的两顶点A、C，已知AB＝AC＝4，AB∥x轴交y轴于点B，过点C作CD⊥y轴于点D，且OB＝CD，则k的值32﹣16．【分析】设OB＝CD＝m，由题意可知，C（m，4），A（4，m），利用勾股定理得到AC＝＝4，得到（4﹣m）2＝16，解方程求得m的值，进一步求得k的值．【解答】解：设OB＝CD＝m，由题意可知，C（m，4），A（4，m），∴AC＝＝4，∴（4﹣m）2＝16，解得m1＝4﹣4．m2＝4+4（舍去），∴C（4﹣4，4），∵双曲线y＝（x＞0）经过等腰△ABC的两顶点A、C，∴k＝（4﹣4）×4＝32﹣16，故答案为：32﹣16．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，表示出A、C的坐标是解题的关键．19．（2021春•东阳市期末）如图，在矩形ABCD中，已知点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．（1）若曲线L过AB的中点．①求k的值．②求该曲线L下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L上方与下方的靓点个数相同，求k的取值范围．【分析】（1）①根据矩形的性质得出AB中点的坐标，根据待定系数法即可求得；②根据矩形的靓点，结合k的值即可得到结论；（2）根据矩形的靓点数结合k＝8或k＝9时，图象上和图象下的靓点数即可得出结论．【解答】解：（1）①∵点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），∴AB的中点为（4，1），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过AB的中点，∴k＝4×1＝4；②曲线L下方（包括边界）的靓点坐标为（4，1），（3，1），（2，1），（2，2）；（2）∵点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），C（6，4），D（2，4），∴矩形ABCD的靓点有5×4＝20个，当k＝8时，落在反比例函数图象上有（4，2）和（2，4）两个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（5，1）、（6，1）共8个靓点，当k＝9时，落在反比例函数图象上有（3，3）一个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（5，1）、（6，1）共10个靓点，∴8＜k＜9．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，明确矩形的靓点是解题的关键．20．（2021春•拱墅区期末）已知反比例函数y1＝的图象经过（3，2），（m，n）两点．（1）求y1的函数表达式；（2）当m＜1时，求n的取值范围；（3）设一次函数y2＝ax﹣3a+2（a＞0），当x＞0时，比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据待定系数法即可求得y1的函数表达式；（2）求得m＝1时的函数值，根据反比例函数的性质即可求得n的取值范围；（3）求出两函数图象的交点坐标，然后根据数形结合的思想即可解答本题．【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），∴k＝3×2＝6，∴y1的函数表达式为y1＝；（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，∵k＝6＞0，∴图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵m＜1，∴n＞6或n＜0；（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直线经过点（3，2），∵反比例函数y1＝的图象经过（3，2），∴当x＞0，两函数图象的交点为（3，2），∵a＞0，∴y2随x的增大而增大，∴当0＜x＜3时，y1＞y2，当x＝3时，y1＝y2，当x＞3时，y1＜y2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，待定系数法法求反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．21．（2021春•杭州期末）设函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．（1）若函数y1的图象经过点（2，1），求y1，y2的函数表达式．（2）若函数y1与y2的图象关于y轴对称，求y1，y2的函数表达式．（3）当1≤x≤4，函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为m﹣4，求m与k的值．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到＝，即可求得k的值，从而求得y1，y2的函数表达式．（3）分三种情况讨论，根据题意得到关于m、k的方程组，解方程组即可求得．【解答】解：（1）∵函数y1的图象经过点（2，1），∴1＝，∴k＝2，∴k+2＝4，∴y1＝，y2＝；（2）∵函数y1与y2的图象关于y轴对称，∴＝，∴k＝﹣1，∴y1＝﹣，y2＝．（3）当k＞0时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，根据题意，当x＝1时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；当k＜﹣2时，函数y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第二、四象限，根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝1时，函数y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；当﹣2＜k＜0时，函数y1＝图象在二、四象限，函数y2＝（k≠0，k≠﹣2）的图象在第一、三象限，根据题意，当x＝4时，函数y1＝有最大值m，当x＝4时，函数y2＝有最小值m﹣4，∴，不合题意，故m与k的值为6、6或﹣2、﹣8．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．22．（2021春•西湖区期末）已知反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限．（1）判断点P（﹣k，k）在第几象限；（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y1＝图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；（3）设反比例函数y2＝﹣，已知n＞0，且满足当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，求x为何值时，y1﹣y2＝2．【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定k的取值范围，从而判断点P所在象限；（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时x的值，从而列方程求解．【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，∴k＞0，﹣k＜0，∴点P（﹣k，k）在第二象限；（2）∵反比例函数y1＝（k≠0）图象经过一、三象限，∴在每一象限内y1随x的增大而减小，又∵点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函数y1＝（k≠0）上，且点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，∴可得，解得：a＞c＞b，∴a，b，c的大小关系为：a＞c＞b；（3）∵k＞0，∴反比例函数y2＝﹣位于第二、四象限，∴在每一象限内y2随x的增大而增大，又∵n＞0，当n≤x≤n+1时，函数y1的最大值是2n；当n+2≤x≤n+3时，函数y2的最小值是﹣n，∴当x＝n时，y1＝2n；当x＝n+2时，y2＝﹣n，∴2n2＝n（n+2），解得：n＝0（不合题意，舍去）或n＝2，∴当x＝n＝2时，y1＝4代入y1＝中，k＝8，∴y1＝，y2＝﹣，若y1﹣y2＝2，∴﹣（﹣）＝2，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，∴当x＝8时，y1﹣y2＝2．【点评】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．23．（2023春•镇海区校级期中）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An﹣1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的横坐标为2，纵坐标是y2+y1、B2的横坐标为3，纵坐标是y3+y2、B3的横坐标为4，纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的横坐标为n+1，纵坐标是：yn+1+yn＝+＝．【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上，∴y1＝4，y2＝2；∴P1A1＝y1＝4；又∵四边形A1P1B1P2是平行四边形，∴P1A1＝B1P2＝4，P1A1∥B1P2，∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+＝6，即点B1的坐标是（2，6）；同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝+＝；即点B2的坐标是（3，）；点B3的纵坐标是：y4+y3＝+＝；…点Bn的横坐标为：xn＝n+1，纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；∴点B20的坐标是（21，）故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标yn+1+yn．24．（2022春•浦江县校级期中）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，∴点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）在第二象限，y2＞y1＞0；（2，y3）在第四象限，y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）25．（2022春•永康市校级月考）点P（2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为y＝．【分析】把点P（2，4）代入y＝求得k，即可得到反比例函数的解析式．【解答】解：∵点P（2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴4＝，∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，故答案为：y＝．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．26．（2022春•丽水期末）已知y是关于x的反比例函数，当x＝3时，y＝﹣2．（1）求此函数的表达式；（2）当x＝﹣4时，函数值是2m，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）将x的值代入（1）中所求的反比例函数的解析式，并求得m的值即可．【解答】解：（1）设y＝（k≠0），则k＝xy；∵当x＝3时，y＝﹣2，∴k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴该反比例函数的解析式是：y＝﹣；（2）由（1）知，y＝﹣，∵x＝﹣4时，函数值是2m，∴2m＝﹣，∴m＝．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、函数值．解答时，利用反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．27．（2023春•镇海区校级期中）如果反比例函数图象经过点（4，﹣2），则这个反比例函数的解析式为（）A． B． C． D．【分析】设反比例函数解析式为y＝（k≠0），把点（4，﹣2）代入即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0），∵函数经过点（4，﹣2），∴k＝4×（﹣2）＝﹣8．∴反比例函数解析式为y＝﹣．故选：C．【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．28．（2022春•上城区期末）已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．（1）当a＝3时．①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；②当y＞6时，求x的取值范围；（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图象以及已知条件列不等式求x的取值范围．（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．【解答】解：（1）①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），代入解析式得3＝，解得k＝6，反比例函数解析式为y＝，把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，解得b＝﹣3，点B（﹣3，﹣2）；②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，∴＞6，∴0＜x＜1；（2）点A、B在反比例函数上，代入整理得，﹣a＝b，∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），代入：0＝ak+b，即：0＝ak﹣a，∵A（2，a）在反比例函数上，∴a≠0，所以0＝k﹣1，k＝1．【点评】考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）29．（2022春•镇海区期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（请直接写出答案）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解；（3）根据图形可知，当y2＝（m≠0）的图象在一次函数y1＝kx+b（k≠0）上方的部分对应的x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y2＝过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：y2＝，当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），则，解得，∴y1＝x+1；（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），∵S△AMN＝•MN•|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；（3）由图象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、数形结合思想等，有一定的综合性，难度不大．30．（2023春•镇海区校级期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，m）．（1）分别求出k，m的值；（2）连结OA、OB，求S△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）由一次函数解析式求得m的值，从而求得A的坐标，代入即可求得k的值；（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标，利用一次函数解析式求出点C坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC可得结果；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）将（﹣2，m）代入一次函数得，m＝﹣×（﹣2）+1＝4，∴A点为（﹣2，4），将A点代入反比例函数得，k＝﹣2×4＝﹣8，∴m＝4，k＝﹣8；（2）由（1）得，反比例函数表达式为y＝﹣，解得或，∴B点的坐标为（，﹣3），设点C为一次函数的图象与y轴的交点，则C（0，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝；（3）由图象可得：不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．九．根据实际问题列反比例函数关系式（共1小题）31．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P＝140代入得到V即可．【解答】解：（1）设，由题意知，所以k＝96，故；（2）当v＝1m3时，；（3）当p＝140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．一十．反比例函数的应用（共3小题）32．（2020春•慈溪市期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．【解答】解：∵点B（12，18）在双曲线y＝上，∴18＝，解得：k＝216．当x＝16时，y＝＝13.5，所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．33．（2023•鹿城区一模）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例．若y＞1.6，则x的取值范围是2＜x＜50．【分析】先求得反比例函数和正比例函数的解析式，然后把y＞分别代入正比例和反比例函数解析式，求出相应的x取值范围即可．【解答】解：当0≤x≤6时，设每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝kx，把（10，8）代入解析式得：10k＝8，解得k＝，∴每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分）的函数解析式为y＝x，当y＞1.6时，x＞1.6，解得x＞2；当x＞10时，y与x的函数解析式为y＝，把（10，8）代入解析式得：m＝80，∴y与x的函数解析式为y＝，当y＞1.6时，＞1.6，解得x＜50，∴y＞1.6x的取值范围是2＜x＜50．故答案为：2＜x＜50．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．34．（2022秋•温岭市期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式，并直接写出蓄电池的电压值（单位：v）（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（9，4）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）将I＝10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）设I＝，把（9，4）代入I＝，得k＝36，∴反比例函数的解析式为：I＝，∴即蓄电池电压值为36V；（2）当I＝10时，R＝3.6，由图象可知，用电器可变电阻R不得低于3.6Ω．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．一十一．反比例函数综合题（共3小题）35．（2022春•定海区校级月考）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k＝4，则△OEF的面积为；②若k＝，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k＜12；④若DE•EG＝，则k＝1．其中正确的命题个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①若k＝4，则计算S△OEF＝，故命题①正确；②如答图所示，若k＝，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范围；④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG＝，求出k＝1，故命题④正确．【解答】解：命题①正确．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F（4，1），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF＝S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF＝4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2＝12﹣2﹣2﹣＝，故①正确；命题②正确．理由如下：∵k＝，∴E（，3），F（4，），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣＝．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝；在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝＝，∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣﹣＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝＝．∴NF＝CF，又∵EN＝CE，∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；命题③正确．理由如下：由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，∴0＜k＜12，故③正确；命题④正确．理由如下：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴y＝﹣x+3m+3．令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命题④正确．综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，故选：D．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．36．（2023•瑞安市开学）如图，点A，B分别在第一，二象限的反比例函数图象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，点C在y轴负半轴上，连结AB，OA，AC，且AC交x轴于点E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k，则k2的值为﹣．【分析】由∠AOC＝135°，则∠AOy＝45°，故设点A（m，m），由平行线分线段成比例求出点C（0，﹣2m），利用△BMA∽△ANC得到B的坐标，进而求解．【解答】解：∵∠AOC＝135°，则∠AOy＝45°，故设点A（m，m），过点A作AT⊥y轴于点T，则OT＝m，∵OE∥AT，CE＝2AE，即CE：AE＝2，∴OC：OT＝2，故点C（0，﹣2m），过点A作MN∥y轴交过点B与x轴的平行线于点M，交过点C与x轴的平行线于点N，∵∠CAN+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠CAN＝∠ABM，∵∠BMA＝∠ANC＝90°，∴△BMA∽△ANC，∵AB＝2AC，则△BMA和△ANC的相似比为2：1，即BM＝2AN，AM＝2CN，设点B（s，t），则m﹣s＝2×（m+2m）且t﹣m＝2m，解得：s＝﹣5m且t＝3m，则k2＝st＝﹣15m2，而k1＝m2，∵k1+k2＝﹣，即﹣15m2+m2＝﹣，解得：m2＝，则k2＝st＝﹣15×＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数和反比例函数的性质、平行线分线段正比例、三角形相似等，其中，正确设点A的坐标，用三角形相似确定点B坐标得方法，是此类题目解题的一半方法，题目综合性强，难度适中．37．（2023春•金华月考）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？【分析】（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；（2）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得x2﹣bx+3＝0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，可得△WOF和△SWG是等腰直角三角形，故SW＝SG，WF＝OW，推出OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，即可求得答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．【点评】本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，新定义“图形M与图形N之间的距离”，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．

巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数经过第一、三象限，可知，据此作答即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．反比例函数的（k≠0），①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限；②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限．2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．它的图象在第二、四象限 B．点在它的图象上C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．【详解】解：在反比例函数中，，∴反比例函数图象经过第二、四象限，故A选项不符合题意；当时，，∴点在函数图象上，故B选项不符合题意；在每一象限内，随着增大而增大，故C选项符合题意，D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．3．（2022春·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例数解析式得出反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，据此即可求解．【详解】解：∵，∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，∵点、、都在反比例函数的图象上，∴、在第三象限，在第一象限，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．4．（2021春·浙江·八年级专题练习）如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．【详解】解：根据双曲线的解析式可得所以可得设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M因此而图象可得所以故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．（2021春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：点A与关于原点对称，点的坐标为．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．6．（2022秋·八年级校考阶段练习）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花圃，设这个矩形相邻两边长分别为和，那么关于的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用矩形面积求法，进而得出关于的函数表达式．【详解】解：某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花面，设这个矩形相邻两边长分别为和，关于的函数表达式为：，即．故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握矩形面积求法是解题关键．7．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项．【详解】解：A、反比例函数的图象经过第一、三象限，则．所以一次函数的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误；B、反比例函数的图象经过第二、四象限，则．所以一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故本选项正确；C、反比例函数的图象经过第一、三象限，则．所以一次函数的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、反比例函数的图象经过第二、四象限，则．所以一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．8．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）对于反比例函数图象的叙述正确的是（

）A．关于原点成中心对称 B．关于x轴对称C．y随x的增大而减大 D．y随x的增大而减小【答案】A【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：反比例函数的图象关于原点中心对称，故选项A符合题意；∵，∴它的图象在第一、三象限，∴不关于x轴对称，故选项B不符合题意；∵，∴函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，此选项C、D都不符合题意；故选：A．【点睛】题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．9．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，其中点的横坐标为3，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根据正比例函数及反比例函数图像与性质，由正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点可知，与关于原点对称，从而根据点的横坐标为3，得到点的横坐标为，再由确定图像为正比例函数图像在反比例函数图像下方的部分，找出其对应的取值范围即可得到答案．【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，与关于原点对称，点的横坐标为3，点的横坐标为，当时，或，故选：B．【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数综合，涉及图像交点特征、利用函数图像交点求不等式解集等知识，熟练掌握正比例函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．10．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点P的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】当三点一线时，线段与线段之差达到最大，确定直线的解析式，与x轴的交点就是所求．【详解】∵，为反比例函数图像上的两点，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，当三点一线时，线段与线段之差达到最大，∴，解得，∴点P的坐标是．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的解析式，最值，熟练掌握待定系数法，清楚线段差最大值的意义是解题的关键．二、填空题11．（2021春·浙江杭州·八年级期中）已知反比例函数则该反比例函数的图象在___________象限．【答案】第二、四【分析】根据，即可求解．【详解】解：∵反比例函数，∴该反比例函数的图象在第二、四象限，故答案为：第二、四．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，在中，当k>0时，函数的图象在一、三象限，当时，反比例函数的图象在二、四象限，数形结合是解题的关键．12．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点则的值为______．【答案】【分析】把图象的交点分别代入反比例函数与一次函数，得到和的两个关系式，就可以求出答案．【详解】解：把分别代入反比例函数与一次函数，得，，．故答案为：．【点睛】本题考查了两个函数的交点问题，交点坐标就是两个解析式组成方程组的解，关键是分式是化简和整体思想的应用．13．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）反比例函数的图象上有两点，，，若，则与的大小关系为______．【答案】【分析】先判断出函数图象在二、四象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系．【详解】解：反比例函数中，此函数图象在二、四象限，，在第二象限；点在第四象限，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．14．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，点为直线上一点，过作的垂线交双曲线于点，若，则的值为______．【答案】【分析】延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据题意可得和均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而可得到，结合，可得，所以点的横纵坐标之积为，即得的值．【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，点为直线上的一点，，，和均为等腰直角三角形，，，，．，，整理得，，即，，，设点坐标为，，∴，．故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．15．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）反比例函数，点A，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，点A的坐标为，点的横坐标为，点为坐标原点，则的面积为______．【答案】【分析】作直线，根据A的坐标为，可求出反比例函数解析式，从而可求出点坐标，进而可利用待定系数法求出直线AB的解析式为，求出直线与轴的交点的坐标后，即可由．【详解】解：如图，作直线，设直线与轴交于点，点在反比例函数图象上，，解得：，反比例函数解析式为．点的横坐标为，，．设直线AB的解析式为，则，解得：，直线解析式为，对于，令，则，解得：．∴，．故答案为：．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积．解本题的关键是求得交点坐标．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作轴交反比例函的图象于点E，连结，点B为y轴上一点，满足，且恰好平行于x轴．若，则k的值为________．【答案】6【分析】由等腰三角形的性质可得，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出，进而利用全等三角形得出点E的横坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得k的值．【详解】解：如图，过点A作轴，交于点F，垂足为M，过点C作轴，垂足为N，∵，∴，由于点A、点C在反比例函数的图象上，可设点，即，，∴，∴点，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴点E的横坐标为，又∵点E在反比例函数的图象上，∴点E的纵坐标为，即，∵，即，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．17．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，双曲线经过等腰的两顶点、，已知，//x轴交轴于点，过点作轴于点，且，则的值______．【答案】【分析】设，由题意可知,，利用勾股定理得到，求出m的值，进一步可得k的值．【详解】解：设，则，∴，即，∴，，，解得：舍去，，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，表示出A、C的坐标是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，函数的图象为曲线．（1）若曲线与直线有唯一的公共点，则______；（2）若曲线使得线段上的整点（横纵坐标均为整数的点，且不包括点、）分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则的取值范围为______．【答案】【分析】（1）由曲线与直线有唯一的公共点，可得只有一组解，从而得有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求解；（2）先求得线段上的整点，由曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间即可求解．【详解】解：（1）由题意得：只有一组解，有两个相等的实数根，，解得：，故答案为：；（2）由，得，，线段上的整数点共有个，分别为，，，，，，，．当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；当曲线经过点时，在曲线上方个，在曲线下方个；若曲线使得线段上的整点横纵坐标均为整数的点，且不包括点、分布在它的两侧，每侧的整点个数相同，则曲线经过和之间，当曲线经过点时，；当曲线经过点时，．的取值范围为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像及性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．三、解答题19．（2023春·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图像经过点和点．(1)求反比例函数的解析式；(2)在轴上找一点，为等腰三角形，求点的坐标．【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）先把点代入求出，再把点的坐标代入求出即可；（2）先求出点的坐标，设，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出即可．【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，∴，∴，∵反比例函数的图像经过点，∴，∴，∴反比例函数解析式为．（2）∵反比例函数的图像经过点，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设点，∴，，，当点满足以下三种情况时，为等腰三角形：①当时，得：，解得：，∴；②当时，得：，解得：，，当时，，即点此时在直线上，不符合题意，舍去，∴；③当时，得：，解得：，，∴点的坐标为或．综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．20．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连，．若，求的取值范围．【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为(2)【分析】（1）将B点坐标代入反比例函解析式中求出k的值，之后求出a的值，再将A、B两点坐标代入即可求得一次函数解析式；（2）首先根据已知求出C点坐标，再将四边形分