4.3.2等比数列的前n项和公式教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性

4.3.2等比数列的前n项和（第1课时）——王翠一、教学内容1．等比数列的前n项和公式的推导；2．等比数列的前n项和公式的简单应用。二、教学目标1．理解错位相减法推导等比数列的前n项和公式；2．会应用等比数列的前n项和公式解决简单问题。三、教学重难点重点：等比数列前n项和公式的推导过程及其简单应用；难点：等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）的理解。四、教学过程1.创设情境，引入问题引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等比数列的通项公式，以及与等比数列有关的以下基本性质，这节课我们来探讨一下等比数列的前n项和公式。问题情境:教师展示一张A4纸，请同学们说出A3、A5、A6、A7、纸的大小。假设A7纸的面积记为单位1，那么其他纸张面积可以记为多少？这些纸张面积之和又是多少？【设计意图】以学生身边的纸张大小入手，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。师生活动：学生可以快速算出上述纸张面积之和，教师引导学生将问题转化为学生熟悉的求等比数列前5项的和，即求1+2+4+8+16，并且整理为1+2+22+23+24。教师再提出以下问题。2.探究新知，概念生成问题1：如果需要计算1+2+22+23+……+29呢？【设计意图】这是求等比数列前100项和的问题，若简单的逐项计算，费时费力，这时教师引导学生进一步探求解题思路。追问1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？师生活动：引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以2，就变成了它的后一项.根据等比数列的通项公式，上式可写成． ①追问2：若在此等式两边同以2，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？师生活动：引导学生经过比较后发现：①,②两式有若干相同项，可两式相减求.我们发现，如果用公比2乘①的两边，可得 ②追问3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？师生活动：两边同乘的2是等比数列的公比，乘2后所得新等式与原式有相同项，两式相减可消去相同项，突破难点。教师总结：这种推导方法叫做错位相减法，通过错位相减，将复杂的求和问题转化为简单的求和，教师引导学生从中体会：所有的和可以用首项、公比和项数来表示；求多项之和就是要想办法消掉一些项，使得多项之和变为几项之和。问题2：如何推导一般等比数列的前n项和？【设计意图】使学生通过类比上面特殊的等比数列求和推导一般等比数列的前n项和。从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。师生活动：学生自己独立推导一般等比数列的前n项和公式，教师巡视，一名学生板演。特别注意分类讨论,q=1,前n项和公式为首项的n倍，公比q情况不同要分类讨论。板书：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则S根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得qSn①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得Sn−q(1−q)S因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式Sn=a1当因为an=a1qSn=a13.例题讲解例已知数列{an}是等比数列，若a1=12，q=12解：因为a1=12S[设计意图]剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式。4.变式训练已知数列{an}是等比数列，若a1=8，q=1解：把a1=8，q=12，Sn8×[1−(−整理，得(12)n[设计意图]已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。5.归纳总结，拓展延伸问题3：请总结一下本节课的主要内容和思想方法。师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况及时补充完善。教师重点概括等比数列前n项和公式的