专题18转化的数学思想在压轴题中的应用

专题18转化的数学思想在压轴题中的应用转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题。 （2022·山东烟台·统考中考真题）(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．【答案】(1)见解析(2)(3)①；②【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．请你证明：．【迁移应用】延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；【答案】证明见解析；垂直；【详解】证明：，，，，，，；迁移应用：，证明：，，，，，，，；拓展延伸：，证明：在中，，在中，，，由上一问题可知，，，，．本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②见解析【详解】（1）解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四边形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形状为等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案为：等腰三角形，．（2）①过点E作于点H，如图所示：∵AC，BD均是直线l的垂线段，∴，∵是等边三角形，且与重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，AE=6在中，，又由（1）知，∴，则，∴在中，由勾股定理得：．②连接，如图3所示：∵，∴，∵由（1）知是等腰三角形，∴是等边三角形，又∵是等边三角形，∴绕点D顺时针旋转后与重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．1．（2022·山东济宁·校考二模）如图1，正方形对角线、交于点，、分别为正方形边、上的点，交于点，且，为中点．(1)请直接写出与的数量关系(2)若将绕点旋转到图2所示位置时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)若，为中点，绕点旋转过程中，直接写出点与点的最大距离______．【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3)【思路分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质可知，是的中点，，，由可知为的中点，是等腰直角三角形，则，由N为中点，可知和分别为和的中位线，根据中位线的性质可得，，在中，由勾股定理可求得；（2）如图2，连接，连接、交于点，证明，则，，在中，由三角形内角和求得，则，和分别为和的中位线，根据中位线的性质可得，，在中，由勾股定理可求得；（3）由题意知，，，可知在以为圆心，为半径的圆上运动，如图3，由题意知，当、、三点共线时，取最大与最小值，根据二者的差为的直径计算求解即可．【详解】（1）解：．如图1，连接，由正方形的性质得，是的中点，，，∵，∴为的中点，且，∴是等腰直角三角形，∴，，∵N为中点，∴和分别为和的中位线，∴，，，，∴，，在中，由勾股定理得，∴．（2）解：成立．证明如下：如图2，连接，连接、交于点，由（1）知，，由正方形的性质得，，，∵，，∴，在和中∵，∴，∴，，∴，∴，∵为的中点，N为中点，∴和分别为和的中位线，∴，，，，∴，，在中，由勾股定理得，∴．（3）解：由题意知，，，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图3，由题意知，当、、三点共线时，取最大与最小值，且最大与最小的差为的直径，∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为．故答案为∶2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图1，在中，，过点A作直线，使，过点B作于点N，过点C作于点M．(1)猜想与的数量关系，并说明理由；(2)求证：；(3)如图2，连接交于点G，若，，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)证明见解析(3)【思路分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由平角的定义得到，由此即可推出结论；（2）如图所示，过点C作于D，证明，，再证明四点共圆，得到，进而证明，得到，由此即可证明结论；（3）如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，得到，再由全等三角形的性质和三线合一定理得到，，证明，推出，利用勾股定理求出，证明，求出,，进而求出，则．【详解】（1）解：，理由如下；∵，即，∴，∴∵，，∴，∴，∴；（2）证明：如图所示，过点C作于D，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四点共圆，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴,，∴，∴．3．（2021·北京·一模）在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接．(1)如图1，点E在边上．①依题意补全图1；②若，，求的长；(2)如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②(2)，证明见解析【思路分析】（1）①根据题意作图即可；②过点F作，交的延长线于H，证明得到，，则，在中，利用勾股定理即可求解；（2）过点F作，交的延长线于H，证明得到，，则，和都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F作，交的延长线于H，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴在中，．（2）结论：，理由如下：过点F作，交的延长线于H，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴和都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴．4．（2021·安徽·统考三模）已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．(1)如图，当点在上时，求证：；(2)如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；(3)如图，若，，分别交于点，，求证：【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【思路分析】先用同角的余角相等，判断出，即可得出结论；先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；先判断出，，进而判断出，得出，进而得出，判断出，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，在和中，；（2）证明：如图，延长，相交于，，由知，，，点是的中点，，在和中，，，，，，，；（3）证明：如图，过点作交的延长线于，，同的方法得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，．5．（2022·江苏扬州·校考三模）在矩形中，，【问题发现】(1)如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由．【类比探究】(2)如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)存在，长度的最小值为【思路分析】（1）证明，即可得解；（2）过点作的垂线交于点，证明，即可得解；（3）过点作于点，连接，则四边形是矩形，证明，得出，根据，可得，得出在上运动，当时，最小，进而求得，根据，即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：过点作的垂线交于点，如图所示：则四边形为矩形，∴，∵，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）存在，理由如下，如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形，∵∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴在上运动，∴当时，最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当时，，即长度的最小值为．6．（2022·山东济南·模拟）如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．(1)求证：；(2)如图2，过点C作的垂线，分别与，，相交于点F、G、H，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【思路分析】（1）连接，由，推出，由，，推出，，推出；（2）只要证明，即可推出；（3）由，推出，由，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，