高中数学奥林匹克竞赛训练题集大全

高中数学奥林匹克竞赛训练题集大全

高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号

填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

4/izg一鬲上工由tcos4x+sin•4x+si•n~2xcos~2x/、

1.化简二角有理式一7-------7-------------「的值为（A）

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

解答为Ao

分母二（sin之x+cos2x）（sin4x+cos4x-sin2xcos2x）+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2

也可以用特殊值法

2.若〃:（f+》+l）J、+320,q:x>-2,则，是夕的（B）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解答为Bop成立0式之_3，所以p成立，推不出q一定成立。

3.集合P={Xx£R，k+3|+k+6|=3},则集合C/为（D）

A.{小<6,或r>3}B.{小<6,或。一3}

C.{x|x<-6,^U>3}D.{x|x<-6,s!cx>-3}

解答：Do画数轴，由绝对值的几何意义可得-6KXW-3,

P={x|-6<x<-3},QP={.^<-6,WU>-3）o

4.设2,万为两个相互垂直的单位向量。己知/=OQ=b,OR=ra+kb.

若△PQR为等边三角形,则k,r的取值为（C）

—

Ai1i^3D.1±V31±V3

A.k=r=-------B.k=-----,r=------

222

「71土耳c.-1±V3_1土百

C.k=r=-----D.k=------,r=-------

222

解答.C.\P^=\QR\=\PR\f

即J-+（左—1）2=+左2=72,解得r二k二I士，。

5.在正三棱柱ABC—AiBiJ中，若AB=0BB「则CAi与JB所成的角的大

小是（C）

A.60°B.75°C.90°D.105°

解答：Co建立空间直角坐标系，以A片所在的直线为x轴,在平面AqG上垂直于

的直线为y轴，所在的直线为z轴。则4（夜,0,0）<（4，3,0）,。（*,乎,1）,

5（0,0,1）,CA=（与，-咚,-1）«声=（一号，—咚,D,CA♦GB=b。

6.设｛4｝，依｝分别为等差数列与等比数列，且4=伉=4吗=4=1,则以

下结论正确的是（A）

A.a2>b2B.a3<h3C.a5>b5D.a6>"

解答：Ao

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由4=4=4,4=仇=1，得d=T,q=苧

得牝=3也=2-^2;ay=2也=而;%=。，与=亭；。6=-1也=¥

7.若不£?,则（1+2工尸的二项式展开式中系数最大的项为（D）

A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项

9Q32

解答：D.小铲,由（5,皿=彳w-第口项最大。

8.设/（x）=cos：,a=f（\oge—\b=/（logJ）,c=/（log।J）,则下述关系

57te-n

式正确的是（D）,

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

解答：Do函数/（X）=COS已为偶函数，在（0,y）上，/（©=COSX为减函数，

52

而

I111111cl

log,_=一log,凡log》-=-----Jog1-7=2log,兀,

万eloge冗-7U~

lOge4工21Oge471

0<---<所以/?＞々＞Co

5log,乃554

9.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为(C)

正视图：半径为1侧视图：半径为1的，圆

俯视图：

的半圆以及高为14

半径为1的圆

的矩形以及高为1的矩形

2〃4〃3乃

A.B.----C.一D.

T33T

解答：C.根据题意，该立体图为圆柱和一个皿的球的组合体。

10.设有算法如下:

如果输入A=144,B=39,则输出的结果是(B)

A.144B.3C.0D.12

解答B(1)A=144,B=39,C=27：(2)A=39,B=27,C=12：(3)A=27,B=12,C=3：(4)

A=12,B=3,C=0o所以A=3。

二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，

共49分)

11.满足方程Jx—2009—2jx—2010+Jx—2009+27^^^=2所有实数解为

2010<x<2011o

解答变形得2010—If2010+=2=0W，％-2010W1,解得

2010<x<2011o

YX

12.xwR,函数/。)=25代+3以吟的最小正周期为臣.

解答2sin'的周期为4乃,3cos'的周期为6万，所以函数/(%)的周期为124<,

23

13.设P是圆V+),2=36上一动点，A点坐标为(20,0)。当P在圆上运动时，线

段PA的中点M的轨迹方程为“-10)2+y2=9.

解答设M的坐标为*,y),设尸点坐标为(%,%),则有1=然2丁=&

=x°=2x—20,)，。=2>，因为P点在圆上，所以(2x—20『+(2〉)？=36所以P点轨迹

为(工一10)2+丁=9。

14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把4ABC分成两个等腰三角

形，试求4ABC的最小内角的取值范围为30Vx<45或22.5<x<30.

解答如图，(1)AD-AC-BD：(2)DC-AC,AD-BDo

(1)

在(1)中，设最小的角为X,则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30Vx<45；

在(2)中，设最小的角为x,则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<30

15.设z是虚数，w=z+-f且一lvwv2,则z的实部取值范围为.

Z2

解答i&z=a+bi=>-\<a+bi+-^—/<2=b——z--—r=0=b=0或a2+/=1

a~+b~a~+b~

当8=0,无解；当/+从=1=一，〈av1。

2

16.设/（幻=2（/-工+1）-/口一幻4。如果对任何X£[OJ],都有/"）之0,贝ijk

的最小值为—.

192

解答人斗匕立因为+1按—x+1最小值为3

x-x+124424

分子]》（1一幻工」"=2时,f（1一幻4取最大值（!）8,所以k的最小值为」_。

丫222192

门设p,qsR,/（公=/+川]|+4。当函数/（%）的零点多于1个时，/（x）在

以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为0或4

解答因为函数/（乃二一+川幻+4为偶函数，由对称性以及图象知道，/（幻在

以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q0

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

4c八留小11212312k

18.设数歹U，…,一,,,•，

121321kk-\1

问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

解（1）将数列分组：（;）'（D）'（m）,…2，…，马,…

121321kk-\1

因为1+2+3+―+62=1953；1+2+3+―+63=2016,

57

所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为卫。-----10分

（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1,所以第2010个1出现在

第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的

项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428o--------17分

19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子

中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x,y,z,则有l«x,y,z49,且

xy?z=(10-x)(10-y)(10-z)(*1)

-5分

即有

xyz=500-50(x4-y+z)+5(xy+yz+zx)o(*2)

于是有5|xyzo因此x,y,z中必有一个取5。不妨设％=5,代入（*1）式，得到

y+z=10o10分

此时，y可取1,2,8,9（相应地z取9,8,2,1）,共9种放法。同

理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x=y=z时二种放法重复。因此

可得共有

9X3-2=25种放法。17分

20.已知椭圆；•+/=］（〃＞］）,RfAABC以A（0,1）为直角顶点，边AB、BC

与椭圆交于两点B、Co若AABC面积的最大值为2,求。的值。

解：不妨设AB的方程y=kx+1(%>0),则AC的方程为y=-1x+lo

y=kx+12

2222

由.一得：(\+ak)x+2akx=0=>xB=—,

2a2k

得：（/+42）/2-2〃2日=（）=%

从而有国二后备,二后若

于是5必8c=』AB|Mq=2/——叫+。，=2。

111(l+a2k2)(a2+k2)

a~(k~+—j-)+6f4+1

a2t2+(a2-\)2q2r1(/-I)?

因为/.+丝12122a，=凹二时等号成立。

a1-i/

因此“丁,匹此一部14分

273+V297

=-=>(«-3)(8/-3"9)=0na=3,"

a2-l816

3+V297

—.......>2=>a>1+0,/.a（不合题意，舍去）,「.a=317分

a16

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

BDCEAF

21.设D,E,F分别为AABC的三边BC,CA,AB上的点。记。二，P=，/=

BCAB

证明：5&1谢之。的S.BC。

证明由

32.=}%-------------=a(l-z).5分

SMBC忸牛画sinB

同理9蟠

=p(\-a\=火1一切。10分

所以SaEF_S“BCSGFD-S&DEC—S^EF

l-a(l-/)-/?(1-a)-/(l-/7)

^qAABC

=(1-a)(l-^)(l-/)+apy>a"等号成立oa=1或4=1或y=1。--20分

因此SWE尸之*S.8C，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B重

合。25分

22.（1）设。>0,平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线y=a?过格

点（n,m）,记IWXW〃对应的曲线段上的格点数为N。证明:

N-mn0

（2）进而设。是一个正整数，证明:

—(〃一+1)«

4

（注［幻表示不超过x的最大整数）

证明（1）考虑区域0<xW〃,0vy工机,且该区域.匕的格点为nm个。又该区域由区域E：

0<x4〃,0vyWar：以及区域F：0<y<m,O<x<—组成。

在区域E上，直线段%=%（%£N+14AW〃）上的格点为[。公]个,

所以区域E上的格点数为£[aky]o---------5分

*=i

同理区域F上的格点数为鲁[R]。----------10分

〃LIm\k

由容斥原理，'=2[.1+2国多一.。----------------15分

«=ibiLY。

（2）当。是一个正整数时，曲线y=a?上的点（k,al）（女wN*J<%<〃）都是格点,

所以（1）中的N=n。同时，m=an\将以上数据代入（1）得

Ik〃a

ZR-]=an4-a^k3+n=n-\■—（〃-1）/（3〃+1）。----------25分

hiVa«=i4

§16排列,组合

i.排列组合题的求解策略

（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这

是解决排列组合题的常用策略.

（2）分类与分步

有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的

并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，

这是乘法原理.

（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数.

（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没

有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.

（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”

全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列.

（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型.如

将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分

成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为G：,这也就是方程。+力+c+d=12的

正整数解的个数.

2.圆排列

（1）由4={6,。2，。3,…，。”}的〃个元素中，每次取出一个元素排在一个圆环上，叫

做一个圆排列(或叫环状排列).

(2)圆排列有三个特点：(i)无头无尾；(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列；(iii)

两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列.

(3)定理：在4=｛《,。2，。31,，/｝的〃个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆

Pr

排列，圆排列数为一L.

r

3.可重排列

允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列.

在加个不同的元素中，每次取出〃个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么

第一、第二、…、第〃位是的选取元素的方法都是“种，所以从“个不同的元素中，每次

取出n个元素的可重复的排列数为mn.

4.不尽相异元素的全排列

如果〃个元素中，有P1个元素相同，又有个元素相同，…，又有P,个元素相同

(Pi+P?+…+R,<n)t这〃个元素全部取的排列叫做不尽相异的〃个元素的全排列，

它的排列数是------------

Pj%!……P」

5.可重组合

(1)从〃个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2,…,〃次的组合叫

从〃个元素取出p个有重复的组合.

(2)定理：从〃个元素每次取出p个元素有重复的组合数为：H：=/g.

例题讲解

1.数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰

有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？

2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？

3.有2〃个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式?

4.将"+1个不同的小球放入〃个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法?

5.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线

的三点组的个数是多少个？

6.用8个数字1,1,7,7,8,8,9,9可以组成不同的四位数有多少个？

7.用五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有

多少种不同的涂色方式？

8.某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全

部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

9.在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向

其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？

10.位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种?

11.某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道.如果有人从城南北角（图4点）

走到东南角中5点最短的走法有多少种？

12.用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？

13.将7•个相同的小球，放入〃个不同的盒子(〃之〃).

(1)有多少种不同的放法？

(2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法？

14.8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩.(只要把圆旋转

一下就重合的排列认为是相同的)

课后练习

1.8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有()种

(A)15(B)30(C)48(D)60

2.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了

2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场

数是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

3.某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有()种

(A)144(B)121(C)64(D)81

4.从7名男乒乓球队员，S名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分

组方法有()种

(A)2C；C；(B)4C；C；(C)P；P；(D)

5.有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值(非0)有()

种

(A)79(B)80(C)88(D)89

6.从0,1,234,5,6,7,8,9这1C个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的

取法有种

7.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3个不同的元素，

并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.

8.设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点4处，它每次可随意地跳到相邻两顶

点之一.若在5次之内跳到。点，则停止跳动；若5次之内不能到达。点，则跳完5次也

停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.

9.如果：(1)a,b,c,d都属于｛1,2,3,4｝：(2)axb,b*c,"d#a；⑶。是。力,c,d中的最小值,

那么，可以组成的不同的四位数砺的个数是________.

10.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两

块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种载种方案.

11.10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有种坐法.

12.从1,2,3,…,19中，按从小到大的顺序选取％,%，。3，为四个数，使得的一《之2,

a3-a2>3,〃4一。324.问符合上要求的不同取法有多少种？

13.8人围张一张圆桌，其中A、3两人不得相邻，而8、C两人以必须相邻的不同

围坐方式有多少种？

14.4对夫妇去看电影，8人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共

有多少种坐法？

高中数学奥林匹克竞赛训练题(02)

第一试

一、选择题(本题满分30分，每小题5分)

L(训练题07)十个元素组成的集合.的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘

积记为.则(C).

(A)0(B)1(C)-1(D)以上都不对

2.(训练题072ABC的三个内角依次成等差数列，三条边上的高也依次成等差数列.则为

(B)

(A)等腰但不等边三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)钝角非等腰三角形

3.(训练题07)对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是(A)

(A)(B)(C)(D)

4.(训练题07)若空间四点满足，则这样的三棱锥共有(A)个.

(A)0(B)1(C)2(D)多于2

5.(训练题07)已知不等式时恒成立，则的取值范围是(B)

(A)(B)(C)(D)

6.(训练题。7)方程在复数集内根的个数为.则(C)

(A)最大是2(B)最大是4(C)最大是6(D)最大是8

二、填空题(本题满分30分，每小题5分)

1.(训练题07)函数的值域是

2.(训练题07)已知椭圆，焦点为,，为椭圆上任意一点(但点不在x轴上)，的内心为，过

作平行于轴的直线交于.则.

3.(训练题07)为的三个内角，

且.则.

4.（训练题07）实数满足.则的最小值是—.

5.（训练题07）在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每

场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得。分.己知有一队得分最多，但它胜的场次比任

何一队都少.若至少有队参赛，则=_6—.

6.（训练题07）若是一个完全平方数，则自然数14

三、（训练题07）（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为

4,求这个正三棱锥的体积的最大值.（18）

四、（训练题07）（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速

度为1米/秒.试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线.

五、（训练题07）（本题满分20分）已知为虚数，且是方程的实根.求实数的取值范围.（）

第二试

一、（训练题07）（本题满分20分）在中，为边上的任一点，于，于，交于.

求证：.

二、（训练题07）（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且.证明：可

在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数.

三、（训练题。乃（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每

三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33

点连蓝线.证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形.

§18直线和圆，圆锥曲线

课后练习

1.已知点A为双曲线/—>2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，AABC是等

边三角形，则A4BC"的面积是

（A）——（B）（C）3-^3（D）6,\/3

32

54

2.平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=+］的距离中的最小值是

（A）熹（B）噜（C）5

（D）—

30

3.若实数x,y满足(x+5尸+(y-12?=142,则x若y?的最小值为

(A)2(B)l(C)V3(D)V2

4.直线±+上=1椭圆二+匕=1相交于A,B两点，该圆上点P,使得,PAB面积等于3,

43169

这样的点P共有

（A）l个（B）2个（C）3个1D）4个

5.设a,b£R,abWO,那么直线ax—y+b=O和曲线以2+叩2=。^的图形是

6.过抛物线y2=8（x+2）的焦点F作倾斜角为60。的直线，若此直线与抛物线交于4、8两点,

弦A8的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于

7.方程一产——尸+——尸---尸=1表示的曲线是

sinV2-sinV3cosV2-cosV3

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线

8.在椭圆三十4=1（。）6）0）中，记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B。

a2b2

若该椭圆的离心率是叵1，则

2

9.设凡，&是椭圆工+匕=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PFi|：\PF2\=2：1,则

94

三角形APF1F2的面积等于.

10.在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（-1,2）和N（1,4）,点P在X轴上移动，

当NMRV取最大值时，点P的横坐标为。

11.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x—17上，另外两个顶点在抛物线>=/上则该

正方形面积的最小值为.

22

12.已知G）:冗2+）?=1和C"J+4=］（4>b>（））。试问：当且仅当。力满足什么

aLbL

条件时，对G任意一点P，均存在以P为顶点、与c（）外切、与G内接的平行四边形？并证

明你的结论。

2

13.设曲线+>2=1（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方公有一个公共点P。

a

（1）实数m的取值范围（用a表示）:

⑵。为原点，若J与x轴的负半轴交于点A'当。卬;时，试求，。AP的面积的最大值

(用a表示)。

14.已知点A(0,2)和抛物线丁=x+4上两点B,C使得A8_L8C,求点C的纵坐标的取

值范围.

15.一张纸上画有半径为R的圆。和圆内一定点4且OA=a.拆叠纸片，使圆周上某一点

卬刚好与4点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当卬取遍圆周上所有点时,

求所有折痕所在直线上点的集合.

4

16.(04,14)在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,-),B(T,0),C(l,0),点P到直线

3

BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。

(I)求点P的轨迹方程；

(II)若直线L经过AA8C的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的

斜率k的取值范围。

17.过抛物线y=/上的一点A(1,1)作抛物线的切线，分别交x轴于D,交y轴于B.点C

ApRF

在抛物线上，点E在线段AC上，满足生=4；点F在线段BC上，满足包=入，且

EC1FC2

4+4=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

课后练习答案

026

l.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.9009.-------

3

10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2。、2b、2c,则由其方程知a=3,b=2,c=卡,

故，|PFi|+|PF2|=2a=6,又已知［PFi|：|PF2|=2：1,故可得|PFi|=4,\PF2\=2.在△PRF?

中，三边之长分别为2,4,2石，而22+42=(2后/，可见是直角三角形，且两直

角边的长为2和4,故△PFF2的面积=4.

11.解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3—x上，设圆心为

S(a,3-a),则圆S的方程为：(x-«)2+(y-3+a)2=2(l+a2)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当

NMPN取最大值时，经过M,N.P三点的圆S必与X轴相切于点P,即圆S的方程中的a

值必须满足2(1+/)=(。-3尸，解得3=1或a=-7o

即对应的切点分别为尸(1,0)和P'(—7,0),而过点M,N,p'的圆的半径大于过点M,

N,P的圆的半径，所以/MPN〉NMP'N,故点P(1,0)为所求，所以点P的横坐标

为1。

12.解：设正方形的边AB在直线y=2x77上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C（M，X）、。区,为），则CD所在直线/的方程y=2x+b,将直线/的方程与抛物线方程

联立，得/=2x+b=xi2=1±Jb+1.

令正方形边长为4,则/=（%一/了+（必一为尸=5区一X2）2=203+l）.①

在y=2x-17上任取一点（6,,5）,它到直线y=2x+6的距离为「.a=”慕如②.

①、②联立解得仿=3也=63..•/=80,或〃2=]280.〃丸二地

13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为

显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A（Q,e）,则B（P2,900+6）

代入（1）式相加：工+工二[十]

Pl2P2/必

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1,

/221tHi1.11

p\p\=1t,+p2»从而一yH---y=1»-yH—y=

P\Piab

____y_=]

222

14.解：⑴由、消去y得：x2^2ax+2am-a=0①

y2=2（x+m）

设/*）=，+2〃2工+2。2加-々2,问题⑴化为方程①在x£（一m。）上有唯一解或等根.

只需讨论以下三种情况：

1°△=（）得：加二幺:1,此时xp=—/,当且仅当一aV—Mva,即OVaVl时适

2

2°/(a)/(—a)<0,当且仅当一aVmVa；

3°/(—。)=0得m=a,此时Xp=a—2(j2,当且仅当一aV。-2a2<o,即OVaVl时适

/（。）=0得m=­。，此时Xp=一。一2。2,由于一。一2。2<一0,从而mW-a.

+1

综上可知，当OVaVl时，m=-----或一aVmWa；

2

当。21时，一a<mVa.

⑵△OAP的面积S=:。力

V0<a<一，故一时，0V-a，+。J”？+1-2mVa,

2

由唯一性得Xp=-a2+a>Ja2+\-2m

显然当m=a时，Xp取值最小.由于xp>0,从而以=J1-飞■取值最大，此时

22

yp=2va-a,S=a>Ja-a.

22

当tn=0；1时,xp=—a>yp=yl\—a,此时S=-a).

下面比较ay/a-a2与—a^\-a2的大小：

2

令a^]a-a2=—a^]-a2,得a=工

23

222

故当OVaW，时，a>la-aW—ayl\-a,此时S,nia=—ay1\-a.

322

221

当Lvav■!■时，ay/a-a>—ayli-a，此时Smat=a^a-a.

322

15.解：设B点坐标为(城一4,必)，。点坐标为(/一4,)，).

显然y；-4w0，故kAB=-4~--――

Ji-4必+2

由于AB_L8C,所以怎C=TM+2)

11不1'=必=一(M+2)次-()/-4)]

从而〈，消去“注意到丁。必得:

y=x+4

(2+yXy+y)+l=0=y；+2(2+丁)必+(2y+l)=0

由ANO解得：y«0或y24.

当y=0时，点B的坐标为(一3,-1)；当)，=4时，点5的坐标为(5,-3),均满足是题

意.故点C的纵坐标的取值范围是y40或yN4.

16.解：如图，以。为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有4。，0).设折叠时,

。0上点卬(Reosa,Rsina)与点A重合,而折痕为直线MN,则MN为线段AV的中垂线.设

P(x,y)为MN上任一点，则IWI=I%I5分

(x-Rcosa)2+(y-Rsin)2=(x-a)2+y2

即27?(.rcosa+ysina)=R?_+2aleIQ分

.xcosa+ysina_R2-a2+2ax

yjx2+y22R&2+J

可得：sin(or+^)=—~"+2""(sin6=-yX,co3=/))

2Ryjx2+y2yjx2+y2yl^+y2

:W1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分

2岫2+y2

平方后可化为

\X---)2

即所求点的集合为椭圆圆一丁一+F^------=1外(含边界)的部分.20

哆)2

分

44

17.解：(I)直线AB.AC.BC的方程依次为y=-(x+l),y=--(x-l),y=0。点尸(x,y)

到AB、AC、BC的距离依次为4二2|4x-3y+4|,&=2|4x+3y-4|，4=|y|。依设，

4d2=4，得116/-(3丁—4)2|=25/，即

16x2-(3y-4)2+25/=0,或16父-(3y-4)2-25/=0,化简得点P的轨迹方程为

圆S：2炉+29+3^—2=0与双曲线T:8x2-17_/+i2y-8=0

(II)由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：2x2+2/+3y-2=0①

与双曲线T：8x2-17y2+12y-8=0②

因为B(—l,0)和C(L0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且

点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

△A5C的内心D也是适合题设条，’牛的点，由&=4=4,解得。(0—)，且知它在圆S上。

直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方