2023年高考数学一轮复习易错题专项突破：等差数列

2023年高考数学易错点专题突破：等差数列

一、单选题

L已知等差数列｛an｝和也｝的前〃项和分别为土和"，若年=需，则使得当为

整数的正整数〃共有（）个

A.3B.4C.5D.6

2.△ABC中，“角A,B,。成等差数歹।『‘是"sbiC=（V5cosA+sEA）cosB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设非零等差数列｛即｝的公差为%则使得数列｛专｝也为等差数列的〃有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

4.已知数列｛an｝是等差数列，其公差为d,Qi=1,且对任意的九GN",均有每＜

W+i—Q/VQn+i，则d的所有值构成的集合为（）

A.｛0,1｝B.（09

C.（-co,0）U[i,+oo）D.g]

5.数列｛4｝满足：%=1,且对任意的riWN*都有：an+1=an+n+1,则十+

111

—a+—a++——=（）

23a2016

A4030口201502016「4032

*2016•1008・2017*2017

6.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和（）两个数字与电路的通和断两种

状态相对应.现有一个2019位的二进制数,其第一个数字为1,第二个数字为0,

且在第4个。和第k+1个0之间有2k+l个l（k£N）即2019个，则该数的所

有数字之和为（）

A.1973B.1974C.1975D.1976

7.在等差数列5｝中，若电,。9是方程%2-2%-6=0的两根，则。3+。4+。7+。8

的值为（）

A.4B.2C.-4D.-2

（）

8.己知等差数列｛an｝的前〃项和为又，若Qm（）=2,则S2oi9=

A.2018B.2019C.4036D.4038

二、填空题

9.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的

2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按

[0,50],（50,100],（100,150],（150,200],（200,250]进行统计，得到如图所示的频

率分布直方图，已知mhfc成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过

15（）元的顾客数量约为.

10.在等差数列｛斯｝中，满足3al=7a7,且%>0,5九是数列｛斯｝前〃项的和，若治

取得最大值，则n=

11.若两个等差数列｛即｝,｛%｝的前〃项和分别为4n,8n且满足自=翳，则然•

的值为.

2

12.在数列｛an｝在中，an=4n-at+a2+,­•an=an+bn,nGN*,其中a,b

为常数，则ab=

三、解答题

13.已知数列｛an｝中，的=1,即>0,前〃项和为Sn,Qn=同+同=(nGN*,

且n>2).

(1)求数列的通项公式；

(2)记。=箫，求数列｛%｝的前〃项和〃・

14.已知等差数列｛外｝的公差dwo,若。6=11，且。2,与，Q14成等比数列・

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设勾=~4—»求数列｛瓦｝的前〃项和s公

an*an+l

15.设等比数列｛册｝的前〃项和为土，若的=-32,且52,S1，53成等差数列.

(I)求｛册｝的通项公式；

(11)比较2Sn与Sn+1+Sn+2的大小.

16.己知等差数歹其叫｝的前〃项和为Sn,且曲=6,a3+a9=14.

(I)求斯、Sn；

(II)设白=S-九，｛%｝的前〃项和为〃，若7；vm恒成立，求实数机的取值范

bnn

围

答案及解析

1.【答案】。

【解析】解：,••詈=警，可设a=5n+234=n+l,

。九〃十JLn

则S_n(28+5n+23)7_?t(2+7i+l)

yijiSyi_571+51_5(TI+3)+36_5+

入％n~n+3~n+3-+n+3

要使某为整数

ln

・••n+3是36的大于等于4的奇约数，即九+3=4或九+3=6或九+3=9或九+

3=12或几+3=18或n+3=36,

・•・n=1,3,6,9,15,33.

・•・使得•为整数的正整数〃的个数是6.

ln

2.【答案】A

【解析】解：若A,B,。成等差数列，则4+C=2B,.•・8=60。，

若sinC=(y/3cosA+sinA)cosBf

则sin(4+B)=V3cosAcosB+sinAcosB^

^VsinAcosB+cosAsinB=y/3cosAcosB+sinAcosB>

:.cosAsinB=>/3cosAcosB，

若cosA=0或tQTlB=V5，

即4=90。或8=60°,

•••角A,8,C成等差数列是sinC=(V5cosA+si?iA)cosB成立的充分不必要条件.

3.【答案】4

【解析】解:由非零等差数列｛时｝的公差为d（常数），则册+i—册=占

要使得数列｛2｝也为等差数列，设公差为心（常数），则七一六二四，

即生4旦=上=_%，

an+ian

可得非零数列是常数数列，故公差为（），只有1种情况，

4.【答案】D

【解析】解:,・・4<%],・・・d>0,且4=l+（A-l）d.

由生<匕1一片<生+1，得<d[2+（2n-l）d]<l+nrf,

整理得（2/-力〃>.2一"+1①，

[d-2d2）n>2d-d2-l②.

若2/_八0,取正整数乂>勺号,

2d-d

则当》既时，（2才-力”（2/-力“</-3J+i,与①矛盾，因此z/2—央0.

同理可得②式中，d-2d，0,所以2d2—d=o.

又d>0,所以d=；.经检验当d=g时，①②两式对任意的”N•恒成立，

5.【答案】D

【解析】解：•・・Q/l+i=an+n+l,.•・斯+1—%1=几+1,

即劭一。1=2，a3—a2=3,…，an—an^=n,

等式两边同时相加得册-%=2+3+4+…+几,

B|Jan=Qi+2+3+44------Fn

=l+2+3+4+•••+〃=”上旦

2

则三=」一=2(--—),

J<Xnn(n+l)n+1，

ala2a3a2016

11111

i223201620177

1、c20164032

=2(1---------)=2x------=-------,

'2017720172017

6.【答案】C

【解析】解：将数字从左往右只有以。为分界进行分组，

第一组为10,数字之和为1；第二组为1110,数字之和为3；

第三组为11111(),数字之和为5；以此类推，

故前〃组的数字之和是以1为首项，2为公差的等差数列，则第〃组数字之和为

2n-1.

前几组的数字个数是以2为首项,2为公差的等差数列，则第〃组数字个数为2〃.

由题知共2019个数字，根据雪普42019,解得nW44,

则前44组共有44x2+竺沪x2=1980个数字，则前1980个数字之和为44x

1+g竺x2=1936,剩余数字个数为2019-1980=39,

则所有数字之和为1936+39=1975,

7.【答案】A

【解析】解：由题意知。2+的=2,

则。3+%++。8=2(。2+的)=4.

8.【答案】D

【解析】解：••・由题知｛an｝为等差数列，阳)10=2,

2019(ai+a20i9)_2°19x2aioi=4038

•••^2019=。

22

9.【答案】600

【解析】解：•・・％b,c成等差数列,

・••2b=Q+c,

又由频率分布直方图可得Q+b+c=^[l-(0.002+0.006)X50]=0.012,

：•b=0.004,

故消费金额超过150元的频率为(b+0.002)x50=0.3,

故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为2000x0.3=600,

故答案为600.

10.【答案】11

【解析】解：等差数列｛斯｝中，满足3a1=7的

由等差数列通项公式可知3Q]=7(%+6d),即d=-符

由等差数列前〃项和公式可得

n(n—1)

Sn=na14----d

乙

n(n—1)2al

=n%+「一

21

=-触-11)2+鬻

因为%>0,

所以当九=11时，S九取得最大值,

故答案为：11.

11.【答案”

O

【解析】解：由等差数列的求和公式和性质可得:

170+%7)

Q5+Q13_%+Q17_2

b5+kb]+b1717(4+b17)

2

=-A-17=-4-X-1-7-+-2=7

5175X17-58

故答案为：g.

o

12.【答案】-1

【解析】解：•・,an=4n-

•••数列｛Q九｝为等差数列，Qi==4,

.』=如脸=2M一0，

n22

Aa=2,Z?=—J,

••ab=—1.

故答案为-1.

13.【答案】解：(1)在数列｛册｝中，an=Sn-Sn_i(n>2)(D，

Qn=5+Jsn_i②且刀>0,

.•・①式+②式得：店-6二=l(n>2),

」•数列｛店｝是以店=病=1为首项，公差为1的等差数列,

:.y[S^=1+(n-1)=n,

S九=Tl2,

22

当九>2时，an=Sn-Sn_i=n—(n—l)=2n—1,

当n=l时，a1=1,也满足上式，

数列｛Q"的通项公式为即=2n-1;

(2)由(1)知，an=2n-l,

则〃="蓝+春+•••+亲

110-13-n2-n

—T=----1-----1------U...J--------1-------

2n2223242n2n+1

两式相减得,

T2-n

\n=3+盛+^+…+/2n+1'

;e+2+…+①一施，

1_落萍耳_2-n_n

2i-l2n+1-2n+1

：•Tn=^-

14.【答案】解：(1)♦.♦%=11，・•・+5d=11,①

va2,Q5，。14成等比数列，•••(%+4d)2=(%+d)(%+13d),

化简得d?=2%d,(2)

又因为dH0,且由①②可得，%=1,d=2,

・•.数列的通项公式是即=2n-1.

11111

(2)由⑴得bn-口a+1-(2n-l)(2n+l)-2Qn-12n+l”

・••=瓦+/?2+…+幻=工(1一工+工一工+…+------—)=i(1———)

nn2k3352n-l2n+lJ2'2n+l，

2n+l

所以%=71

2n+l

15.【答案】解：(1)因为52,Si，S3成等差数列，所以2sl=52+S3,

即2al=+。2++。3，

整理可得。3=—2。2,所以｛册｝的公比为一2・