专题11圆锥曲线点差法与第三定义讲解(原卷版+解析)

9/9专题11圆锥曲线点差法与第三定义【预备知识一】中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则中点，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得： ，整理得 ∴【思考】①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？设，，则，仍有，，注：抛物线中同样存在类似性质：【巩固练习一】例1人教A版（2019）选择性必修第一册习题3.1P14（拓展探索）已知椭圆,一组平行直线的斜率是.(1)这组直线何时与椭圆相交?(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.例2椭圆，求以为中点的弦所在的在直线的方程。例3：给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。【补充】，可以理解为AB两点无限接近（极限思想），也可以用椭圆切线方程得到 【预备知识二】第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．

【情景练习】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，法二：通过椭圆的垂径定理转换【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，法二：双曲线垂径定理设，

【巩固练习二】例1课本习题设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点.（1）如图，若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程．（2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程例22019全国二卷21题(节选)已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，证明：△PQG是直角三角形．

【巩固练习三】定比点差法【预备知识一】定比分点若则称点P为线段AB的分点，点P分有向线段AB的比为，当点P在线段AB上时，点P为内分点，点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，点P为外分点(其中AB，AP，PB均为有向线段).例1若，，且，表示出P点坐标.【解】则有，∴定比分点公式：令，，，且点P分有向线段的比为，即.则，

例2已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率的直线l与椭圆交A，B两点(A点在B点的上方)，若有，则椭圆的离心率为．策略一韦达定理令直线，，由，得：(则由得，则即，整理得：，得：所以策略二定比点差法令，，则有因为,则有，即代入A,B坐标，有：① ②①－4×②得：，则有，又代入椭圆方程得：解得或（舍）.即1/11专题11圆锥曲线点差法与第三定义【预备知识一】中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得 ∴可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴注：抛物线中同样存在类似性质：【巩固练习一】例1人教A版（2019）选择性必修第一册习题3.1P14（拓展探索）已知椭圆,一组平行直线的斜率是.(1)这组直线何时与椭圆相交?(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.答案(1)直线与椭圆相交.(2)这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.解析设这组平行线的方程为.把代人椭圆方程,得,其根的判别式.(1)由,得.所以当这组直线在轴上的截距的取值范围是时,直线与椭圆相交.(2)设直线被椭圆截得的线段的中点为,则,其中是方程的两个实数根.联立和,消去,得.因此当这组直线与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.例2椭圆，求以为中点的弦所在的在直线的方程。解：设弦的两端点为，则，两式相减，又，，等式两边同除，可得，则所求方程为.例3：给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。分析：点差法解出．但是将代人双曲线方程得一元二次方程，此方程无实根，故满足题设的直线不存在。这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但是如果忽视对判别式的考察．将得出错误的结果．所以解题时一定要注意点差法的不等价性，即考虑判别式大于零。同时由此题可看到中点弦问题中判断点P的位置非常重要。(1)若中点P在圆锥曲线内。则被点P平分的弦一般存在；(2)若中点肘在圆锥曲线外．则被点P平分的弦可能不存在．【补充】，可以理解为AB两点无限接近（极限思想），也可以用椭圆切线方程得到 【预备知识二】第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．

【情景练习】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：双曲线垂径定理设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴【巩固练习二】例1课本习题设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点.（1）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程．（2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程【答案】（1）点的轨迹是除去，两点的椭圆【分析】分析：设点的坐标为，那么直线，的斜率就可用含，的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出，之间的关系式，进而得到点的轨迹方程．【解析】设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率同理，直线的斜率由已知，有化简，得点的轨迹方程为∴点的轨迹是除去，两点的椭圆．（2）同理可得化简，得点的轨迹方程为∴点的轨迹是除去，两点的双曲线.例22019全国二卷21题(节选)已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，证明：△PQG是直角三角形．【简证】解：(1)(2)如图，易得，又(椭圆的第三定义)即PQ⊥PG.详细证明需要设点用点差法或者设直线联立求解．

【巩固练习三】定比点差法【预备知识一】定比分点若则称点P为线段AB的分点，点P分有向线段AB的比为，当点P在线段AB上时，点P为内分点，点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，点P为外分点(其中AB，AP，PB均为有向线段).例1若，，且，表示出P点坐标.【解】则有，