专题1.3三角形的初步认识重难点题型11个（原卷版）

专题1.3三角形的初步认识重难点题型11个重难点题型题型1三角形三边关系及其运用性质：两边之差的绝对值<第三边<两边之和解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边是否能构成三角形。（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。最后，也需验证三边是否能构成三角形。（3）遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一个三角形中，利用三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边解题.1．（2022·淮北市八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，2．（2022·上海徐汇·七年级期中）其中两条边长分别为和4，第三条边长为整数的三角形共有____个．3．（2022·云南红河·八年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3、4，第三边最长且为偶数，则此三角形的第三边长是______．4．（2022·江苏南京·七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．145．（2022·安徽·淮南市八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝________．6.（2022•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．题型2中线与三角形面积（周长）性质：（1）三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分（2）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；（3）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；（4）等底等高的两个三角形面积相等。解题技巧：（1）明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。题目中往往会出现多个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积，直至求解出题干要求的面积。（2）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平行的线段上的点（等高）；（3）两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。1．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·广西·八年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是，则阴影部分面积等于（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·泰兴市洋思中学七年级阶段练习）如图，在中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，，则的值为______．4．（2022·四川遂宁初一期末）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，，，，则的面积是（）A．42 B．48 C．54 D．605．（2022·枣庄市市中区实验中学初一月考）如图，是的中线，，，的周长和的周长差为()A．6 B．3 C．2 D．不确定6．（2022·上海闵行初一期中）如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、，得到，记其面积为，，按此规律继续下去，可得到，则其面积________．题型3高线与三角形面积性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变注：求面积时，底边和高必须对应。解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。利用个等式，可求出三角形中某些不太方便求解的边。1．（2021·内蒙古林西?初二期末）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（）A．B．C．D．2．（2021·四川凉山初三期末）如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为S1、S2、S3A．S1=S3B．S1+S23．（2021·江苏海安?初一月考）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC=___________．4．（2021·哈尔滨市第六十九中学校初一期中）如图，是的高，，则_____________．5．（2021·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．（1）求△ABC的面积；（2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长．6．（2021·云南昭通·八年级期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．题型4.双角平分线（两内、两外、一内一外）1．（2021·无锡市江南中学七年级月考）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为___________．2．（2021·江苏扬州市·七年级月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．3．（2021·苏州外国语学校八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．4．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）如图1，、的角平分线、相交于点，（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）解：（1）结论：______度．说理如下：因为、平分和（已知），所以，（角平分线的意义）．因为，（）（完成以下说理过程）5．（2021·镇江市外国语学校八年级月考）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．（1）如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：（2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．①与的数量关系为____．②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数．6.（2022•蓬溪县月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．题型5.内角和与外角定理的相关计算与证明1．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．2．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．3.（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（

）A．76° B．65° C．56° D．54°4．（2021•黄石港区期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．5．（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．6．（2022·重庆合川·八年级期末）如图，的角平分线、相交于点．(1)若，，求的度数；(2)求证：．题型6.全等三角形的判定方法：5种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形；2）寻找边角相等的3组条件。3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理寻找第3个条件思路：原则1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边全等三角形证明思路：1°：SSS证全等1.（2022·北京·首都师大二附八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④2．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．（2022·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．2°：SAS证全等1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为_____．3．（2021·江苏徐州·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD．求证：∠C＝∠D．4．（2021·四川泸州·一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．5．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．3°：ASA证全等1．（2022·四川攀枝花·模拟预测）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去2．（2022·新疆吐鲁番·八年级期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL3．（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．4．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上．（1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论；（2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论．5．（2022·上海宝山区·七年级期末）如图，已知四边形中，，．为上一点，且，，交的延长线于点．（1）和相等吗？为什么？（2）和相等吗？为什么？4°：AAS证全等1．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，ABCD，∠ACD=90°，CD=CB，DE⊥BC于点E．求证：AB=CE．2．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，在中，，点是边的中点，，，垂足分别为点，．(1)求证：；(2)若，求的度数．3．（2021·重庆八中七年级期末）如图，在中，，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知，．（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；（2）若，，求CE的长．4．（2022·江苏东台初二期末）如图，点、、、在一条直线上，，，，交于．（1）求证：．（2）求证：．5．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．5°：HL证全等1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④2．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线，另一张纸片压住射线且与第一张纸片交于点，若，则__．3．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．5．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．题型7.利用全等三角形证明数量（位置）关系1．（2021·重庆·八年级阶段练习）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M．求证：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．2．（2022·重庆渝北·八年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是线段CA延长线上一点，连接BE，过点C作CD⊥BE交于点D，过点A作AF⊥CD交于点F；(1)求证：BD＝CF；(2)若点M是AB的中点，连接MF，MD，求证：FM⊥MD．3．（2021·贵州遵义·八年级期末）如图，．（1）求证：；（2）试判断与的位置关系，并说明理由．4．（2021·河南周口·八年级期中）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，，，M、N分别是AE、CD上的点，且．（1）△ABE和△DBC全等吗？请说明理由；（2）探索BM与BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由．5．（2021·河南驻马店·八年级期中）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．6．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．（1）求证：≌；（2）求证：；（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．题型8.尺规作图与三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS2．（2021·河南郑州·一模）在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）下列说法中，若①，，则；②三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；③在三角形全等的判定中，至少要有一条边对应相等才能判定两个三角形全等；④用尺规作已知角的平分线的理论依据是“SSS”；⑤经过线段中点的直线是这条线段的对称轴，其中正确说法的有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2021·江苏苏州市·七年级期末）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形．(1)如图①，的面积为；(2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形．5．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：（1）作边上的中线．（2）用直尺和圆规作的角平分线．（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．6．（2021·江苏泰州·一模）已知：如图1，中，．（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）题型9.利用三角形全等测距离1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS3．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，要测量水池的宽度，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是______m．4．（2021·四川南充·八年级期末）某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．（1）根据题中描述，画出图形；（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．5．（2022·福建龙岩·八年级期末）将一个含45°角的直角三角板ABC和一把刻度尺按如图所示的位置放在一起，其中直角的顶点C在刻度尺上，如果分别过A，B两点想刻度尺作两条垂线段AM和BN，垂足分别为M，N．通过测量CN的长度就可以知道AM的长度，为什么？请说明理由．6．（2021·山东青岛·七年级期中）某校七年级班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB之长：方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．阅读后回答下列问题：（1）方案a是否可行？请说明理由；（2）方案b是否可行？不必说明理由；（3）方案b中作，的目的是___________，若仅满足，方案b的结论是否成立．题型10.全等三角形中的动态问题1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等．2．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当时，t的值为（

）A．1或3 B．2 C．2或4 D．1或23．（2022·广西百色·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（

）A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒4．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，已知直线于点P，B是内部一点，过点B作于点A，于点C，四边形是边长为8cm的正方形，N是的中点，动点M从点P出发，以2cm/s的速度，沿方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为，当时，t等于（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或65．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．6．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在中，，，，点在上，且，过点作射线（与在同侧），若点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连结、．（1）如图①，当时，求证：；（2）如图②，当于点时，求此时的值．题型 11.全等三角形综合题1．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④2．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图1