专题14坐标系中的面积（和平移有关）

专题14坐标系中的面积（和平移有关）【例题讲解】在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．（1）解：将AB向下平移5个单位得线段CD，∴点C（2，1），线段AB平移到CD扫过的面积为：故答案为：（2，1）；20；（2）①如图1，过P点作PF⊥AC于F，由平移知，轴，∵A（2，4），∴PF＝2，由平移知，CD＝AB＝4，∴S△PEC＝CE•PF＝CE×2＝CE，S△ECD＝CE•CD＝CE×4＝2CE，∴S△ECD＝2S△PEC，即：S△PEC＝S△ECD；②如图2，当PD交线段AC于E，且PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PC，延长DC交y轴于点M，则M（0，﹣1），∴OM＝1，连接AD，则S△ACD＝S长方形ABDC＝10，∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，∴S△CDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，由①知，S△PEC＝S△ECD＝×8＝4，∴S△PCD＝S△PEC+S△ECD＝4+8＝12，∵S△PCD＝CD•PM＝×4PM＝12，∴PM＝6，∴PO＝PM﹣OM＝6﹣1＝5，∴P（0，5）．如图3，当PD交AB于点E，PD将四边形ACDB分成面积为2：3两部分时，连接PB，延长BA交y轴于点G，则G（0，4），∴OG＝4，连接AD，则S△ABD＝S长方形ABDC＝10，∵PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分，∴S△BDE＝S矩形ABDC＝×20＝8，∵S△BDE＝BD•BE＝×5BE＝8，∴BE＝过P点作PH⊥BD交DB的延长线于点H，∵B（6，4），∴PH＝6S△PDB＝BD×PH＝×5×6＝15，∴S△PBE＝S△PDB﹣S△BDE＝15﹣8＝7，∵S△PBE＝BE•PG＝PG＝7，∴PG＝，∴PO＝PG+OG＝+4＝，∴P（0，），综上可得：P（0，）或P（0，5）．【综合解答】1．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．（1）平移后的三个顶点坐标分别为：.A1（

），B1（

），C1（

）.（2）在上图中画出平移后三角形A1B1C1；（3）画出△AOA1并求出△AOA1的面积．【答案】（1）A1（3，1）B1（1，1）C1（4，﹣2）；（2）答案见解析；（3）6．【分析】（1）根据点P、P1的坐标确定出平移规律，再求出A1、B1、C1的坐标即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（3）利用△AOA1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】解：（1）∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0）的对应点的坐标为A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣2）；故答案为：A1（3，1）B1（1，1）C1（4，﹣2）；（2）△A1B1C1如图所示；（3）△AOA1的面积=6×3﹣×3×3﹣×3×1﹣×6×2=18﹣﹣﹣6=18﹣12=6．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．2．在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．

在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（﹣1，a），点B（b，2a），点C（﹣，a﹣1），将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．【答案】（1）点A不是直线l的“伴侣点”；（2）点B是直线l的“伴侣点”，理由详见解析.【分析】（1）直线l：x=1，求出点A到直线l的距离为2，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.（2）从点C到点F，找出平移规律，进而求得点D,E的坐标，根据点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，即可求出的值，即可求出点B的坐标，根据“伴侣点”的定义进行判定即可.【详解】（1）∵A（﹣1，a），直线l：x=1，∴点A到直线l的距离为2，2＞1，∴点A不是直线l的“伴侣点”．（2）∵→F（1，a+b），∴横坐标加，纵坐标加b+1，∴∵点E落在x轴上，∴2a+b+1=0，∵三角形MFD的面积为，∴∴当时，解得，此时点是直线l的“伴侣点”．当时，此时点B是直线l的“伴侣点”．【点睛】属于新定义问题，考查点到直线的距离，点的平移，三角形的面积公式等，读懂题目中“伴侣点”的定义是解题的关键.3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．(1)求点C，D的坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【答案】(1)C（2,0），D（4,0）(2)t=2(3)值不变，为6【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=42t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（2,0），D（4,0）；（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C和点D的坐标分别为（2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，∴OM=t．∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，∴,即，解得t=2；（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=42t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，∴=S△ONB+S△OMB===63t+3t=6；∴为定值6，故其值不会变化．【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．4．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．（1）则A点的坐标为；点C的坐标为．D点的坐标为．（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．【答案】（1）(0，4)，(2，0)，(1，2)；（2）1，理由见解析；（3）2，理由见解析【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根据S△ODP＝S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．【详解】解：（1）∵．∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，解得a＝4，b＝2，∴A（0，4），C（2，0）；∴x＝＝1，y＝＝2，∴D（1，2）．故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．（2）如图1中，由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，即CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，∴S△DOP＝OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•xD＝×2t×1＝t，∵S△ODP＝S△ODQ，∴2﹣t＝t，∴t＝1；（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，∵∠2+∠3＝90°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，∴∠GOC+∠ACO＝180°，∴OG∥AC，∴∠1＝∠CAO，∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，∴＝，＝，＝2．【点睛】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．5．如图所示，在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．（1）在图中画出．（2）写出点的坐标．（3）若轴上有一点，使与面积相等，求出点的坐标．【答案】（1）见解析；（2），，；（3）P点的坐标为或．【分析】（1）分别确定平移后的对应点再顺次连接即可得到答案；（2）根据在坐标系内的位置直接写出坐标即可；（3）先求解再设，根据可得的上的高为：，再利用三角形的面积公式列方程，解方程可得答案.【详解】解：（1）如图，是所求作的三角形，（2）由图可得：，，（3）设，而的上的高为：，或或的坐标为或．【点睛】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，坐标系内三角形的面积，熟练掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键.6．在如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣4，﹣1）C（2，3），△A1B1C1是由△ABC平移得到，点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1）(1)写出三个顶点的坐标(2)请画出平移后的△A1B1C1(3)求△A1B1C1的面积【答案】(1)A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）(2)见解析(3)14【分析】（1）由题意知，将三个顶点分别向右平移2个单位，向下平移1个单位得到其对应点，即可得出答案；（2）将（1）中三个点的坐标描出，再首尾顺次连接即可；（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．(1)∵点P（x1，y1）是△ABC内一点，经过平移点P（x1，y1）变成点P1（x1+2，y1﹣1），∴可以由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，则A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）；(2)分别描出A1（0，4）、B1（−2，−2）、C1（4，2）三个点，顺次连接这三个点，则得到平移后的△A1B1C1，如图所示：(3)＝36−4−6−12＝14．【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是确定平移变换．7．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，边长为2的正方形（点与点重合）和边长为4的正方形的边和都在轴上，且点坐标为．正方形以3个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，记正方形和正方形重叠部分的面积为，假设运动时间为秒，且．（1）点的坐标为______；（2）如图2，正方形向右运动的同时，动点在线段上以1个单位长度/秒的速度从到运动．连接，．①为何值时，所在直线垂直于轴？②为何值时，？【答案】（1）；（2）①，②或【分析】（1）根据直角坐标系的特点和正方形的性质求解即可；（2）①根据所在直线垂直于轴．得出方程求解即可；②分两种情况，当时和当时，利用面积公式解答即可.【详解】解：（1）由正方形EFGH的边长为4，H（7，0），可以得到F的坐标为（3，4）；（2）①要使所在直线垂直于轴．只需要，则，解得．∴当时，所在直线垂直于轴．②由题意，知，．当时，．∴当时，点与点重合；时，点与点重合；时，点与点重合；当时，点与点重合，；当时，点与点重合，．分以下两种情况讨论：情况一：当时，如图3，，，，∵，∴，即．解得；情况二：当时，如图4，，，，∵，∴，即，解得．

图4情况三：当时，，∴

．不合题意，舍去．综上所述，当或时，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质与面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，点A坐标为（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC=6．（1）写出点C的坐标（，）（2）在y轴上是否存在点P，使得S△POB＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在；（3）把点C往上平移3个单位得到点H，画射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探索∠BMA、∠HBM、∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）2，0；（2）存在，（0，6）或（0，6）；（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM，证明见解析【分析】（1）根据坐标轴上，两点间的距离的计算方法，即可得出结论；（2）先求出△ABC的面积，进而求出△BOP的面积，最后用三角形的面积公式，建立方程，求解，即可得出结论；（3）先判断出BH∥x轴，再分两种情况，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，即得出结论．【详解】解：（1），，，故答案为：2，0；（2）如图1，，，，，，设，，，，或；（3）∠BMA=∠MAC+∠MBH或∠MAC=∠BMA+∠HBM．证明：由平移知，H（2，3），∵B（2，3），∴BH∥x轴，①当点M在线段CH上时，如图2，过点M作MG∥x轴，∴∠AMG=∠MAC，∵BH∥x轴，MG∥x轴，∴BH∥MG，∴∠BMG=∠HBM，∴∠BMA=∠AMG+∠BMG=∠MAC+∠MBH；②当点M在CH的延长线上时，如图3，记AM与BH的交点为N，∵BH∥x轴，∴∠MNH=∠MAC，∵∠MNH是△BMN的外角，∴∠MNH=∠BMA+∠HBM，∴∠MAC=∠BMA+∠HBM，即∠BMA=∠MAC+∠MAC或∠MAC=∠BMA+∠HBM．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，三角形的外角的性质，作出辅助线是解本题的关键．9．在如图所示的平面直角坐标系中，A（2，3），B（4，0）.（1）将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度至线段CD（C与A对应），求△ABD的面积；（2）将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.①若△ABQ的面积为3，请通过计算说明，线段AB是如何平移至线段PQ的？②设P（0，y），且8≤y≤8，请用含y的式子表示△ABP的面积，并求出当y=8时，△ABP的最大面积.【答案】（1）面积为4；（2）①向左平移4个单位，向上平移3个或9个单位得到；②S=6y，当y=8时，S最大=14.【分析】（1）根据平移的规律，画出图形，用割补法依据S△ABD=S△ABO+S△AODS△OBD求三角形的面积即可.（2）①根据平移的规律，画出图形，设点Q的坐标为（2，y），分两种情况讨论：用y表示出S△ABQ=9y.或S△ABQ=y9.即可求出y，再根据Q与C对应即可找到平移规律.②分P点在y轴的正半轴和负半轴，根据三角形面积求法，即可用含y的式子表示△ABP的面积，然后把y代入即可求出.【详解】解：（1）如图1：∵A（2，3），B（4，0）.将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度.∴C（2，5），D（0，2）.连接OA，∴OD=2，OB=4.S△ABD=S△ABO+S△AODS△OBDS△ABD==4.（2）①将线段AB平移至线段PQ（P与B对应），且点P恰好落在y轴上.则线段AB向左平移4个单位，设Q点坐标为（2，y）,∵△ABQ的面积为3，故点P在Q的上方，Ⅰ.如图2（1）：作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.S△ABQ=S△ABH+S△AQHS△QHBS△ABQ==9y若△ABQ的面积为3，则9y=3，解得：y=6，即Q为（2，6），∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（2，6）与A点（2，3）对应.故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度至线段PQ（B与P对应），Ⅱ..如图2（2）：作QH垂直x轴，连接HA，∴OP=，OB=4.S△ABQ=S△ABH+S△AQHS△QHB∴S△ABD==y9,依题意得：y9=3，∴y=12，∵将线段AB平移至线段PQ，Q点（2，12）与A点（2，3）对应.故将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移9个单位长度至线段PQ（B与P对应），故若△ABQ的面积为3，将线段AB沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个（或9个）单位长度至线段PQ（B与P对应）.②Ⅰ.当P在y的正半轴，如图：设P点坐标为（0，y），连接OA，∴OP=，OB=4.S△ABP=S△ABO+S△APOS△OBPS△ABD==6y.Ⅱ当P在y轴的负半轴上时，如图4：，∵y＜0.∴S△ABP=S△ABO+S△APOS△OBPS△ABD==6y.∴S△ABD=6y，当y=8时，S△ABD=14.【点睛】本题考查了三角形综合题型，涉及到了点的平移变换、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，.（1）写出点的坐标；（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，；（3）①若点在线段上，；②若点在线段延长线上，，见解析.【分析】（1）过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，根据平移的性质可得OA=BC，OF=BE，进而得到C点坐标；（2）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，与的高都是一样的，所以只要底边符合条件即可；（3）分点在线段上和点在线段延长线上两种情况进行讨论，过点作，利用平行线的性质进行证明即可.【详解】解：（1）如图1，过C点作CF⊥y轴与点F，过B点作BE⊥x轴与点E，∵，，∴，，∴；（2）设，①若点在线段上，∵，∴，∴，∴②若点在线段延长线上，

∵，∴，∴，∴；（3）如图2、3，过点作，由平移的性质知，∴，∴，（两直线平行，内错角相等），①若点在线段上，（图2），即；②若点在线段延长线上，（图3），即【点睛】本题主要考查坐标与图形变化平移，三角形的面积公式，平行线的性质，属于综合题，解此题的关键在于作适当的辅助线，分情况进行讨论．11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为、．（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；（2）点是边BC上任意一点，三角形经过平移后