专题22.7矩形的判定-2021-2022学年八年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.7矩形的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•虹口区二模）在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形为矩形的是A．且 B．且 C．且 D．且【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解析】、，，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项不符合题意；、，，四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，故选项不符合题意；、，，，，四边形是平行四边形，，故选项符合题意；、，，，，，，的长为、间的距离，又，，，四边形是矩形，故选项不符合题意；故选：．2．（2021•嘉定区二模）下列四个命题中，真命题是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形 D．对称轴互相垂直的四边形是矩形【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判定定理，是真命题，故符合题意；对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故不符合题意；以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱形是假命题，故不符合题意；对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故不符合题意，故选：．3．（2020春•无棣县期末）下列说法不正确的是A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形【分析】根据平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解析】、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选项不符合题意；、对角线相等的平行四边形是矩形，选项不符合题意；、三个角是直角的四边形是矩形，选项符合题意；、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项不符合题意；故选：．4．（2021•长寿区自主招生）如图，在四边形中，与相交于点，，，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．【解析】、，，，，，即对角线平分且相等，四边形为矩形，正确；、，，，，，即对角线平分且相等，四边形为矩形，正确；、，，，无法得出，故无法得出四边形是平行四边形，进而无法得出四边形是矩形，错误；、，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，是矩形，正确；故选：．5．（2020•冷水江市一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角【分析】由矩形的判定即可得出结论．【解析】三个角是直角的四边形是矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是，故选：．6．（2020•杨浦区二模）已知在四边形中，，对角线与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是A．， B．， C．， D．，【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【解析】、，，无法得出四边形是平行四边形，故无法判断四边形是矩形．故错误；、，，，，得出四边形是平行四边形，，四边形是矩形．故正确；、，，，，，，，，，四边形是菱形，无法判断四边形是矩形．故错误；、，可无法判断四边形是矩形，故错误；故选：．7．（2020•河南一模）在菱形中，对角线与相交于点，再添加一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】、，菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；、，根据菱形的对角线互相平分且，知，对角线相等的平行四边形是矩形可得是矩形，故本选项正确；、，根据对角线相等的菱形是矩形，故本选项正确；、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形是菱形，故本选项正确．故选：．8．（2018•上海）已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是A． B． C． D．【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解析】、，，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；、不能判定这个平行四边形为矩形，错误；、，对角线相等，可推出平行四边形是矩形，故正确；、，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：．9．（2019春•普陀区期末）如图，在四边形中，与相交于点，，，那么下列条件中不能判定四边形是矩形的是A． B． C． D．【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，依据矩形的判定进行判断即可．【解析】．当，时，四边形是平行四边形，再依据，可得四边形是矩形；．当，时，四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；．当，时，，再根据，可得，进而得到，即可得到四边形是矩形；．当，时，，即可得出四边形是平行四边形，再依据，可得四边形是矩形；故选：．10．（2019•普陀区二模）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【解析】顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①，新的四边形成为矩形，符合条件；②四边形是平行四边形，，．，．根据等腰三角形的性质可知，．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形是平行四边形，．，．．，四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④，，，即平行四边形的对角线互相垂直，新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：．二．填空题（共8小题）11．（2017春•松江区期末）已知四边形中，，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是或．【分析】当或时，四边形是矩形．只要证明四边形是平行四边形即可．【解析】当或时，四边形是矩形．理由：，当或时，四边形是平行四边形，，四边形是矩形．12．（2020春•雨花区校级月考）如图，在平行四边形中，若，则四边形是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得，，由等腰三角形的判定可得，可得，由矩形的判定可得平行四边形是矩形．【解析】四边形是平行四边形，，，，，，平行四边形是矩形，故答案为矩形．13．（2020春•涿鹿县期中）在四边形中，对角线，交于点且，互相平分，若添加一个条件使得四边形是矩形，则这个条件可以是或有个内角等于90度（填写一个即可）．【分析】因为在四边形中，对角线与互相平分，所以四边形是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解析】对角线与互相平分，四边形是平行四边形，要使四边形成为矩形，需添加一个条件是：或有个内角等于90度．故答案为：或有个内角等于90度．14．（2021•永嘉县校级模拟）已知，，小明按如下步骤作图，①以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接，，则四边形为矩形．【分析】直接利用基本作图方法得出四边形是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．【解析】四边形为矩形．理由：，，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形．故答案为：矩形．15．（2020春•房山区期末）在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是①③④．【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形是矩形．理由如下：，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形；故答案为：①③④．16．（2020春•石城县期末）如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为或或时，、、、四点组成矩形．【分析】根据已知可知：当点到达点时，点将由运动，根据矩形的性质列方程即可得到结论．【解析】根据已知可知：当点到达点时，点将由运动，四边形是矩形，，，，若，则四边形是矩形，由题意得，当时，，，，当时，，，，当时，，，；当时，，，，此时与重合，无法构成矩形，故舍去，故答案为：或或．17．（2021春•阳新县期末）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是．【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解析】如图，连接．，，，，，，，四边形是矩形，，由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时，，即，解得：，．故答案为：．18．（2021•永嘉县校级模拟）已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为．【分析】根据、、、四点坐标得到四边形为矩形，根据矩形的性质当直线过矩形的对角线的交点时，直线把矩形的面积分成相等的两部分，然后把中点坐标代入即可计算出的值．【解析】点，，，，四边形为矩形，直线将四边形分成面积相等的两部分，直线过矩形的对角线的交点，而矩形的对角线的交点坐标为，，．故答案为．三．解答题（共6小题）19．（2021春•浦东新区期末）如图，已知四边形是平行四边形，将边延长至点，使，联结、，与交于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：四边形是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由．得，且，即可得出结论；（2）证，中由平行四边形的性质得，，则，即可得出结论．【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，，，，，且，四边形是平行四边形；（2）四边形是平行四边形，，，，，，，由（1）得：四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形．20．（2021春•定南县期末）如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形．【分析】根据角平分线的定义和垂直的判定得出，进而利用矩形的判定解答即可．【解答】证明：是的平分线，，是的平分线，，，，即，，，，即，，四边形是矩形．21．（2020春•虹口区期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长至点，使，联结、．（1）求证：；（2）当时，求证：四边形是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，，求得，由全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到，推出四边形是平行四边形，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到结论．【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，，，点、分别为、的中点，，，，在和中，，，，；（2），，是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，，是的中点，，，四边形是矩形．22．（2020•莘县二模）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．（1）求证：；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【分析】（1）先由，利用平行线的性质可证，而是中点，那么，，利用可证，那么有，又，从而有；（2）四边形是矩形．由于平行等于，易得四边形是平行四边形，又，，利用等腰三角形三线合一定理，可知，即，那么可证四边形是矩形．【解答】证明：（1），，是的中点，，，，，，；（2）四边形是矩形．理由：，是的中点，，，过点作的平行线交的延长线于点，即，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形．23．（2019春•闵行区期末）如图，在中，为边的中点，过点作，与的延长线相交于点，为延长线上的任一点，联结、．（1）求证：四边形是平行四边形：（2）当为边的中点，且时，求证：四边形为矩形．【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；（2）证明，由矩形的判定方法可得出结论．