数学教案：第一章统计

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章复习eq\o（\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析本节是对第一章知识和方法的归纳和总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章内容是相互独立的，随机抽样是基础,在此基础上学习了用样本估计总体和变量间的相关关系，要注意它们的联系．本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．当总体容量大或检测具有一定的破坏性时，可以从总体中抽取适当的样本,通过对样本的分析、研究，得到对总体的估计，这就是统计分析的基本过程．而用样本估计总体就是统计思想的本质．要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的三种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴涵于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差（标准差)可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计,为决策提供依据．总之，统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律,实现对总体的估计．三维目标1．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题；2．能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异．重点难点教学重点:会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题．教学难点：能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．课时安排1课时eq\o(\s\up7（）,\s\do5（教学过程)）导入新课为了系统地掌握本章知识，我们复习本章内容,教师直接点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题)）1．随机抽样的内容包括几部分？2．用样本估计总体包括几部分？3．变量间的相关关系包括几部分？活动:学生思考或交流，回顾所学,教师指导学生复习的思路和方法，及时总结提炼．讨论结果:1．随机抽样的内容包括三部分：（1）简单随机抽样抽签法：一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为:将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N）；将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)．将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽取k次;从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出．抽样具有公平性原则：等概率、随机性;抽签法适用于总体中个数N不大的情形．随机数表法：将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如当N＝100时,编号可以是00，01，02，…，99.这样，总体中的所有个体均可用两位数字号码表示,便于使用随机数表．当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．由此可见，用随机数表法抽取样本的步骤是:对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；在随机数表中任选一个数作为开始；从选定的数开始按一定的方向读下去,得到数码．若不在编号中，则跳过；若在编号中,则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；根据选定的号码抽取样本．（2）系统抽样系统抽样的步骤为:采用随机的方式将总体中的个体编号;将整个的编号按一定的间隔(设为k)分段，当eq\f(N，n）(N为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时，k＝eq\f（N，n）；当eq\f(N，n)不是整数时，从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时k＝eq\f(N′,n)，并将剩下的总体重新编号;在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号1；将编号为1，1＋k，1＋2k，…,1＋(n－1）k的个体抽出．（3)分层抽样例：某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样?分析：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥．解：可用分层抽样方法，其总体容量为12000。“很喜爱”占eq\f（2435，12000）＝eq\f（487,2400），应取60×eq\f（487，2400)≈12人；“喜爱”占eq\f(4567,12000），应取60×eq\f(4567，12000）≈23人；“一般”占eq\f（3926，12000)，应取60×eq\f(3925,12000）≈20人；“不喜爱”占eq\f(1072，12000)，应取60×eq\f（1072，12000）≈5人．因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般"和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层"．分层抽样的步骤是：将总体按一定标准分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样）．适用于总体中个体有明显的层次差异，层次分明的特点；总体中个体数N较大时，系统抽样、分层抽样二者选其一．2．用样本估计总体包括：（1）用样本的频率分布估计总体分布．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图．频率分布直方图的特征:通过频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；通过频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．茎叶图．画茎叶图的步骤如下：①将每个数据分为茎(高位）和叶(低位)两部分;②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧;③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧．用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据,两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观、清晰．(2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．①众数、中位数、平均数以及利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数．利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字(最高矩形的中点)．估计中位数:中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数:频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．总之，众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述，可以作为总体相应特征的估计．样本众数易计算，但只能表达样本数据中的很少一部分信息，不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响，绝对值越大的数据，对平均数的影响也越大．三者相比，平均数代表了数据更多的信息，描述了数据的平均水平，是一组数据的“重心”．②标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：假设样本数据是x1,x2，…，xn,eq\x\to(x)表示这组数据的平均数，xi到eq\x\to(x）的距离是｜xi－eq\x\to(x）｜（i＝1，2，…,n）．于是,样本数据x1，x2，…，xn到eq\x\to（x)的“平均距离”是s＝eq\f（｜x1－\x\to(x）｜＋｜x2－\x\to(x)|＋…＋｜xn－\x\to（x)｜，n).由于上式含有绝对值，运算不太方便,因此，通常改用如下公式来计算标准差s＝eq\r(\f（1，n)［x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to（x）2])。③方差从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2（即方差）来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具：s2＝eq\f(1，n)[（x1－eq\x\to(x）)2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x））2]．在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．3．变量间的相关关系包括:（1）变量之间的相关关系相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系．两个变量之间的关系分两类:①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者,体重也重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系是一种非确定性关系．(2)两个变量的线性相关①散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图．②正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．(注：散点图的点如果几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系)③线性相关关系:像能用直线方程y＝a＋bx近似表示的相关关系叫作线性相关关系．④线性回归方程：一般地，设有n个观察数据如下:xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn当a,b使Q＝（y1－bx1－a）2＋（y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时，就称y＝a＋bx为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后,是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝\f（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x)\x\to（y),x\o\al(2，1)＋x\o\al（2，2）＋…＋x\o\al(2,n）－n\x\to（x）2），，a＝\x\to(y)－b\x\to（x)。）)其中，eq\x\to（x)＝eq\f（x1＋x2＋…＋xn，n)，eq\x\to（y）＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn，n)。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例））思路11为了了解高一（1)班50名学生的视力状况，从中抽取10名学生进行检查．如何抽取呢？解法一：通常使用抽签法,方法是：将50名学生从1到50进行编号,再制作1到50的50个号签，把50个号签集中在一起并充分搅匀，最后随机地从中抽10个号签．对编号与抽中的号签的号码相一致的学生进行视力检查．解法二：下面我们用随机数表法求解上面的问题．对50个同学进行编号，编号分别为01,02，03,…，50；在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如从下表第3行第29列的数7开始．1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328从数7开始向右读下去，每次读两位，凡不在01到50中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到12,07，44,39，38，33,21，34,29，42,这10个号码，就是所要抽取的10个样本个体的号码。变式训练某学校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10∶1，行政人员有24人．①现采取分层抽样抽取容量为50的样本，那么行政人员中应抽取的人数为()．A．3B．4C．6D．8②教学人员和教辅人员中应抽取的人数分别为________和________．答案:①C②404例2下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？（1）从10台冰箱中抽取3台进行质量检查．（2）某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1~40。有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈．（3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本．解：（1)总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便．（2）总体容量比较大,用抽签法或随机数表法比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样法．(3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采用分层抽样法。变式训练要从已编号（1～60)的60枚最新研制的某种导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是(）．A．5，10，15，20，25，30 B．3,13，23,33,43，53C．1，2，3,4,5,6 D．2，8，14，20,26，32答案：B例3某单位在岗职工共624人，为了调查职工用于上班途中的时间,决定抽取10%的职工进行调查．如何采用系统抽样方法完成这一抽样？解：第一步:将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数表法），将剩下的620名职工重新编号(分别为000,001，002,…,619），并分成62段；第三步：在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码i0；第四步：将编号为i0,i0＋10，i0＋20,…,i0＋610的个体抽出，组成样本。变式训练现有以下两项调查:①某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9。为了调查全市商店每日零售额情况,抽取其中15家进行调查．完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）．A．简单随机抽样法，分层抽样法 B．分层抽样法,简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法 D．系统抽样法，分层抽样法答案：D思路2例1为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图1)，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1,0。3,0.4。第一小组的频数是5.图1（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数．(2)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内?(3）若参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀,试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？解：(1)由于各小组频率的和是1，因此第四小组的频率为1－0。1－0.3－0.4＝0。2；由于第一小组的频数是5，频率为0。1,因此总人数为5÷0。1＝50。（2)由于第三小组的频率最大，因此学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．(3)由第三小组的频率和第四小组的频率和为0。6，可知该校此年级跳绳成绩的优秀率是0。6。例2下面是关于世界20个地区受教育的人口的百分比与人均收入的散点图．图2(1）图中两个变量有什么样的相关关系？(2）若利用散点图中的数据建立的回归方程为y＝3.193x＋88。193，且受教育的人口的百分比相差10％，其人均收入相差多少？解：(1）散点图中的样本点基本集中在一个条型区域中，因此两个变量呈线性相关关系．(2）回归方程的自变量系数为3.193，因此当受教育的人口的百分比相差10％时，其人均收入相差3。193×10＝31。93.变式训练1．数据70,71,72，73的标准差是(）．A．2B．eq\f（5，4)C．eq\r（2）D．eq\f(\r(5)，2)答案：D2．已知k1,k2,…，k8的方差为3，则2（k1－3),2(k2－3），…，2（k8－3)的方差为________．答案：123．已知回归方程y＝0。5x－0.81，则x＝25时,y的估计值为________．答案：11。69eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练)）1．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89。910.11010.2乙9.410.310.89。79。8产量较高的是________;产量比较稳定的是________．答案:乙品种甲品种2．在一次文艺比赛中，12名专业人员和12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分,下面是两个评判组对同一名选手的打分：小组A：42,45，48,46，52,47,49，55,42，51,47,45；小组B：55，36,70，66，75，49,46,68，42,62,58,47。通过计算说明小组A，B哪个更像是由专业人士组成的评判小组？答案：小组A。3．从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下：甲班76748296667678725268乙班86846276789282748885通过作茎叶图，分析两个班学生的数学学习情况．解：作出的茎叶图如图3。图3从这个茎叶图中可以看出乙班的数学成绩更好一些．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升））1．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001,…，799进行编号，如果从下面随机数表第2行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443962587973211234297864560782524207443815510613429966027954…解:从第2行第18列的数7开始向右读，每次读三位，凡是小于或等于799的数就为1个,即719，050，717，512，358是最先检测的5袋牛奶的编号．2．想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量其身高，并作出这些数据的散点图．这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子做的成长记录。年龄/周岁345678910111213141516身高/cm90.897。6104。2110.9115.6122.0128.5134。2140。8147。6154.2160.9167.6173.0(1)作出这些数据的散点图．(2)求出这些数据的回归方程．（3）对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？（4)用下一年的身高减去当年的身高，计算他每年身高的增长数，并计算他从3～16岁身高的年均增长数．（5)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．解：(1）作出的数据的散点图如图4。图4(2)用y表示身高,x表示年龄，则数据的回归方程为y＝6。317x＋71.984.（3)在该例中,回归系数6.317表示孩子在一年中增加的高度．(4）每年身高的增长数略.3~16岁的身高年均增长约为6。323cm。（5)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结)）本节介绍了从总体中抽取样本的常用方法,并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业))复习题一任选3题．eq\o(\s\up7(），\s\do5(设计感想）)本节复习了最常用的三种抽样方法．获取样本数据后,将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴涵于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差(标准差)可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计，为决策提供依据．本节对第一章知识和方法进行了归纳和总结,使学生的基本知识系统化和网络化,基本方法条理化,有利于学生更好地用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．eq\o（\s\up7(),\s\do5(备课资料))备选习题1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了200个零件的长度,在这个问题中，200个零件的长度是（)．A．总体 B．个体C．总体的一个样本 D．样本容量答案：C2．用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率"“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率"分别是（)．A。eq\f（1,6），eq\f（1,6），eq\f（1，6） B。eq\f（1,6）,eq\f(1，5)，eq\f（1，6) C。eq\f(1，6)，eq\f(1,6），eq\f(1,3） D.eq\f（1，6）,eq\f（1，3），eq\f(1,3)答案：C3．在一个个体数目为1003的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中每个个体被抽到的概率是()．A.eq\f（1,20） B.eq\f(1，50） C。eq\f(2,5) D。eq\f(50，1003)答案：D4．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（)．A．40 B．30 C．20 D．12答案：B5．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台,乙厂生产的有42台，用分层抽样法从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是（)．A．甲厂9台，乙厂5台 B．甲厂8台，乙厂6台C．甲厂10台，乙厂4台 D．甲厂7台，乙厂7台答案:B6．下列叙述中正确的是（)．A．通过频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B．频数是指落在各个小组内的数据C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D．组数是样本平均数除以组距答案：C7．某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔10分钟在传送带某一位置取一件检验,则这种抽样的方法为（）．A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．非上述情况答案：B8．频率分布直方图中,小长方形的面积等于(）．A．组距 B．频率 C．组数 D．频数答案：B9．一组数据的方差为3,将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，则所得到的这组新数据的方差是（）．A．1 B．27 C．9 D．3答案:B10．有两个样本，甲：5,4,3，2,1;乙：4,0,2,1,－2.那么样本甲和样本乙的波动大小情况是（）．A．甲、乙波动大小一样 B．甲的波动比乙的波动大C．乙的波动比甲的波动大 D．甲、乙的波动大小无法比较答案：C11．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为________．答案:eq\f(1,10)12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图5：图5则新生婴儿体重在（2700,3000)的频率为________．答案：0.313．已知样本99，100,101,x，y的平均数是100，方差是2，则xy＝________。答案：999614．某中学高一年级有x个学生，高二年级有900个学生，高三年级有y个学生，现从这些学生中采用分层抽样抽取一个容量为370人的样本，若