3.4实际问题与一元一次方程

3.4实际问题与一元一次方程一．选择题（共5小题）1．（2022秋•益阳期末）甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，他俩从同一地点起跑，乙先跑5米后，甲出发追赶乙．设甲出发x秒后追上乙，则下列四个方程中正确的是（）A．7x＝6.5x+5 B．7x＝6.5x﹣5 C．7x+5＝6.5x D．（7+6.5）x＝5【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根据此等式列方程即可．【解析】设甲出发x秒钟后追上乙，则甲所跑的路程为7x，而此时乙所跑的路程为6.5x+5；根据此时“甲追上乙”那么他们的总路程应该相同，即7x＝6.5x+5．故选：A．2．（2021秋•华州区期末）某商人一次卖出两件商品．一件赚了15%，一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次买卖过程中，商人（）A．赔了90元 B．赚了90元 C．赚了100元 D．不赔不赚【分析】根据利润问题，设赚了15%的商品的成本为x元，则x（1+15%）＝1955，赔了15%的商品的成本为y元，则y（1﹣15%）＝1955，再分别解方程求出x和y，然后比较两件商品的成本与它们的销售价即可判断赚或赔．【解析】设赚了15%的商品的成本为x元，则x（1+15%）＝1955，解得x＝1700（元），赔了15%的商品的成本为y元，则y（1﹣15%）＝1955，解得y＝2300（元），所以两件商品的总成本为1700元+2300元＝4000元，而4000元﹣2×1955元＝90元，所以在这次买卖过程中，商人赔了90元．故选：A．3．（2022秋•高邑县期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送．若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（）A．60件 B．66件 C．68件 D．72件【分析】设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设分派站现有包裹x件，依题意得：x-解得：x＝66．故选：B．4．（2023•光泽县模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C．x3+2=x2-9 D．3（x﹣2【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解析】设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故选：B．5．（2022秋•聊城期末）足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若一个队打了14场比赛得17分，其中负了5场，那么这个队胜了（）场．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设这个队胜了x场，根据一支球队打了14场，负5场，则平（14﹣5﹣x）场，再根据共得分17分，就可以列方程，求解即可．【解析】设这个队胜了x场，则平（14﹣5﹣x）场，由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝17，解得：x＝4．即该球队胜了4场．故选：B．二．填空题（共3小题）6．（2023春•耒阳市期末）某商品按定价的八折出售，售价为14元，则原定价是17.5元．【分析】设商品原定价为x元，根据题意列方程求解，即可得到答案．【解析】设商品原定价为x元，由题意得：0.8x＝14，解得：x＝17.5，即商品原定价为17.5元，故答案为：17.5．7．（2022秋•马尾区期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程8x﹣3＝7x+4．【分析】可设有x个人，根据所花总钱数不变列出方程即可．【解析】设有x人，根据题意，可列方程：8x﹣3＝7x+4，故答案为：8x﹣3＝7x+4．8．（2023•汉阴县一模）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为1．【分析】根据题意将“九宫格”补充完整，由“九宫格”的性质可得出关于x，y的一元一次方程，解之即可得出x，y的值，再将其代入xy中即可求出结论．【解析】将“九宫格”补充完整，如图所示．依题意得：4+y+2＝2+5+8，8+x+6＝2+5+8，解得：x＝1，y＝9，∴xy＝19＝1．故答案为：1．三．解答题（共4小题）9．（2022秋•清河区校级期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．（1）每件服装的标价是多少元？（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%？【分析】（1）设每件服装的标价是x元，根据每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元得：0.5x+20＝0.8x﹣40，即可解得答案；（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，根据售价＝进价×（1+利润率）得：200×m10=（0.5×200+20）×【解析】（1）设每件服装的标价是x元，根据题意得：0.5x+20＝0.8x﹣40，解得x＝200，∴每件服装的标价是200元；（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，根据题意得：200×m10=（0.5×200+20）×解得m＝9，答：打9折销售能恰好保证利润率为50%．10．（2023•横山区三模）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为2.4cm的正方形拼成的，请求出大长方形的面积（列一元一次方程解）​【分析】设小长方形的宽为xcm，由题意列出方程，即可求解．【解析】设小长方形的宽为xcm，由题意可得：3x+2.4＝2.4×2，解得：x＝0.8，∴大长方形的面积＝（2.4×2）×（0.8+2.4）＝15.36cm2．11．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【分析】（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人“得：16+x＝3x+4，可解得答案；（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得240y×2＝400（22﹣y），即可解得答案．【解析】（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．12．（2022秋•雁塔区校级期末）某种商品按成本提高20%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件亏损了64元，问这件商品成本多少元？（亏损＝成本﹣售价）【分析】首先设这件商品的进价是x元，根据题意可得等量关系：（1+20%）×进价×打折＝进价+利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．【解析】设这件商品进价x元，依题意有（1+20%）x•80%＝x﹣64，0.96x＝x﹣64，解得x＝1600．答：这件商品进价1600元．一．选择题（共1小题）1．（2022秋•郑州期末）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有2﹣10之间不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．2 B．4 C．5 D．7【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．【解析】设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，8﹣3＝5，8+x﹣3﹣6＝x﹣1，8+x﹣2﹣（x﹣1）＝7，5+6+7﹣7﹣3＝8，如图所示：P+6+8＝7+6+5，解得P＝4．故选：B．二．解答题（共3小题）2．（2022秋•道县期末）2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x≥30）．（1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款（20x+4200）元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款（18x+4320）元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．【分析】（1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可；（2）将x＝40分别代入（1）所列代数式计算比较即可；（3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答．【解析】（1）按方案A购买，需付款：30×1600+20（x﹣30）＝20x+4200，即需要付款（20x+4200）元；按方案B购买，需付款：30×160×0.9+20×0.9x＝18x+4320，即需要付款（18x+4320）元．故答案为：（20x+4200），（18x+4320）；（2）当x＝40时，方案A：20×40+4200＝5000（元）．方案B：18×40+4320＝5040（元）．因为5000＜5040，所以按方案A购买较为合算；（3）根据题意，得20x+4200＝18x+4320．解得x＝60．答：当购买运动棉袜60双时，两种方案付款相同．3．（2023•仙游县校级模拟）某校为2023级初一新生采购1000套校服，已知购买一套男生校服需花费135元，购买一套女生校服需花费150元，本次采购花费143700元，求该校采购的男生校服和女生校服的套数．【分析】设该校采购的男生校服x套，女生校服（1000﹣x）套，由题意知，135x+150（1000﹣x）＝143700，解得，x＝420，则1000﹣x＝580，然后作答即可．【解析】设该校采购的男生校服x套，女生校服（1000﹣x）套，由题意知，135x+150（1000﹣x）＝143700，去括号得，135x+150000﹣150x＝143700，移项合并得，﹣15x＝﹣6300，系数化为1得，x＝420，∴1000﹣x＝580（套），∴该校采购的男生校服420套，女生校服580套．4．（2023•广平县校级开学）一辆快车从甲站开向乙站，速度是65.5千米/时，过了1小时后，一辆慢车又从甲站开向乙站，速度是58.5千米时．当快车到达乙站时，慢车离乙站还有104千米．甲、乙两站相距多少千米？【分析】根据“当快车到达乙站时，慢车离乙站还有104千米”列方程求解．【解析】甲、乙两站相距x千米，则：58.5×（x65.5-1）＝x解得：x＝425.75，答：甲、乙两站相距425.75米．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•南开区校级期末）某超市推出如下优惠方案：（1）购物款不超过200元不享受优惠；（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（）元．A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【解析】（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元．（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照8折付款：638×0.8＝510.4（元）综上所述，她应付款510.4元．故选：C．2．（2022秋•广阳区期末）为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的110，第二班领取100棵和余下的110，第三班领取200棵和余下的110，第四班领取300A．6400 B．8100 C．9000 D．4900【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．【解析】设树苗总数x棵，根据题意得：110x＝100+110（x-1解得：x＝9000，答：树苗总数是9000棵．故选：C．二．解答题（共1小题）3．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．（1）当t＝20时，点M表示的数为8，点Q表示的数为﹣8．（2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数．（3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值．【分析】（1）当t＝20时，点M表示的数为8；当t＝20时，点Q表示的数为﹣8；（2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，36﹣3t＝|﹣10+2t|，此时﹣12+t＝﹣12+465=-145，当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t，3t﹣36＝|62（3）当PQ从A向C运动时，﹣8+32（t﹣4）﹣[﹣8+12（t﹣4）]＝1.5或﹣4+12（t﹣4）﹣[﹣10+32（t﹣4）]＝1.5，当PQ从C向A运动时，132+12（t-352）﹣[132-32（t-352【解析】（1）∵﹣8﹣4+20×1＝8，∴当t＝20时，点M表示的数为8；∵16﹣{20×3﹣[16﹣（﹣20）]}＝﹣8，∴当t＝20时，点Q表示的数为﹣8；故答案为：8，﹣8；（2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，∴CQ＝16﹣（﹣20+3t