2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处（）A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长3．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，则图中共有（）对相似三角形A．2 B．3 C．4 D．55．（3分）已知△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，S△DEF＝6，AB＝8，则AB边上的高等于（）A．3 B．6 C．9 D．126．（3分）如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：AB＝（）A． B． C．1：2 D．7．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．108．（3分）如图，是一个正三棱柱的三视图，则这个棱柱的体积是（）A． B． C． D．69．（3分）如图，已知正方形ABCD，点E为BC的中点，则S△DFC：S四边形ABEF的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BD平分∠ABC，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，则线段PQ的长是（）A．5 B． C． D．6二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，则c＝cm．12．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，则DF的长是．13．（3分）如图，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，则点E的对应点E1的坐标是．14．（3分）如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，则该车车身总长为米．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AC＝24，BC＝18，则BD的长是．16．（3分）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角∠MON＝30°，身高1.5米的小明，在地面上的影长BP为1米，则大树的高度是米．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，连接AF，CE，则．三、解答题（共8道题，共69分）18．解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0；（2）．19．先化简，再求值：，其中x从﹣3，1，3中选择一个适当的数．20．如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，在线段AC上找一点E，使得△ABD∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法）21．如图，在▱ABCD中，BE⊥DC于E，F为AE上一点，使∠BFE＝∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝2，AD＝3，∠BAE＝30°22．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝5米，EG＝1.5米，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG23．金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，设每箱猕猴桃降价x元．（1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元．（2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值．24．如图，▱ABCD的面积为96，AB＝10，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，求正方形EFGH的边长；（2）如果点F在AB边上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．25．问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是，的值是．问题解决（2）如图2，现有一块四边形板材ABCD，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝8，AD＝4，使得点P在四边形ABCD的边上，且△BCP的一个内角等于另一个内角的2倍第一步：作边BC的垂直平分线DR交BC于点R；第二步：作∠BCD的平分线交DR于点O；第三步：连接BO并延长交DC于点P，得△BCP．若按上述作法，裁得的三角形部件BCP是否符合要求？若符合，请求出△BCP的面积．若不符合

2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：∵一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，∴从左面看得该几何体的左视图是：故选：B．2．（3分）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处（）A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长【解答】解：根据中心投影的特征可知人远离灯光时，其影子逐渐变长．故选：B．3．（3分）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．【解答】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，故A不符合题意；B、由两角对应相等的两三角形相似，故B不符合题意；C、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故C不符合题意；D、两三角形两边对应成比例，不能判定△ABC与△ADE相似；故选：D．4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，则图中共有（）对相似三角形A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DF∥AC，∴△DBF∽△ABC，∵△ADE∽△ABC，∴△ADE∽△DBF，∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEF＝∠EFC，∠DFE＝∠FEC，∴△DEF∽△CFE，综上所述，图中共有4对相似三角形．故选：C．5．（3分）已知△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，S△DEF＝6，AB＝8，则AB边上的高等于（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，∴△DEF与△ABC的相似比为1：2，∴△DEF与△ABC的面积比为4：4，∵S△DEF＝6，∴△ABC的面积为24，∵AB＝3，则AB边上的高等于，故选：B．6．（3分）如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：AB＝（）A． B． C．1：2 D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵点E是AD的中点，∴AE＝AD，∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似，∴，∴，∴AD2＝CD2，∴AD6＝2CD2，∴CD：AD＝AE：AB＝6：．故选：A．7．（3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝4，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝4，故选：C．8．（3分）如图，是一个正三棱柱的三视图，则这个棱柱的体积是（）A． B． C． D．6【解答】解：由三视图可知：正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，∴底面边长＝，∴正三棱柱的体积为．故选：B．9．（3分）如图，已知正方形ABCD，点E为BC的中点，则S△DFC：S四边形ABEF的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，S△ACD＝S△ABC，∴△AFD∽△CFE，∴＝，∵点E为BC的中点，∴AD＝2EC，∴＝2，∴S△AFD＝2S△EFC，S△AFD＝2S△DFC，∴S△DFC：S四边形ABEF＝2：3，故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BD平分∠ABC，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，则线段PQ的长是（）A．5 B． C． D．6【解答】解：，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，∵△APQ∽△ABC，∴∠APQ＝∠ABC，即PQ∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∠QDC＝∠BCD，∴∠PDB＝∠ABD，∠QDC＝∠ACD，∴PD＝PB，DQ＝CQ，设PD＝PB＝a，DQ＝CQ＝b，∴AP＝AB﹣BP＝8﹣a，AQ＝AC﹣CQ＝6﹣b，∵△APQ∽△ABC，∴，即，∴，，∴，故选：B．二、填空题（每小题3分，共21分）11．（3分）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，则c＝2cm．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×5，解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．则c＝2cm．故答案为：8．12．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，则DF的长是．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，∴，∵BD＝3，∴，故答案为：．13．（3分）如图，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，则点E的对应点E1的坐标是（﹣8，4）或（8，﹣4）．【解答】解：∵点E（﹣4，2），将△EFO放大8倍E1（﹣4×6，2×2）或（﹣6×（﹣2），∴点E1的坐标为（﹣2，4）或（8，故答案为：（﹣6，4）或（8．14．（3分）如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，则该车车身总长为（）米．【解答】解：设该车车身总长为x米，由题意得：＝，解得：，经检验：是原方程的根，∴该车车身总长为：米，故答案为：（）．15．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AC＝24，BC＝18，则BD的长是15．【解答】解：∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∵AB＝12，AC＝24，DE＝6，∴＝，解得：BD＝15．故答案为：15．16．（3分）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角∠MON＝30°，身高1.5米的小明，在地面上的影长BP为1米，则大树的高度是（）米．【解答】解：过点Q作EQ⊥CD于点E，∴EQ∥ON，∴∠2＝∠1＝30°，∵DQ＝6米，∴米，∴米，由题意得：AB＝8.5米，BP＝1米，∴，即，∴米，∴米，∴大树的高度是米，故答案为：（）．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，连接AF，CE，则．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，∴DA＝BC＝3，CD＝AB＝3，如图，延长DA到G，连接GE，则；∵BF＝2AE，∴，∴；∵∠GAE＝∠B＝90°，∴△GAE∽△ABF，∴，即；∴，当点E在线段GC上时，GE+GC取得最小值取得最小值；∵DC＝DG＝6，∠D＝90°，∴在Rt△DGC中，由勾股定理得，∴取得最小值为；故答案为：．三、解答题（共8道题，共69分）18．解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0；（2）．【解答】解：（1）∵2x2+8x﹣3＝0，∴a＝7，b＝4，∴Δ＝44﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，∴，解得；（2），去分母的得：﹣x（x+2）+（x﹣1）（x+4）＝3，去括号得：﹣x2﹣3x+x2﹣x+2x﹣7＝3，移项得：﹣x2﹣7x+x2﹣x+2x＝5+2，合并同类项得：﹣x＝5，系数化为4得：x＝﹣5，检验，当x＝﹣5时，∴x＝﹣7是原方程的解．19．先化简，再求值：，其中x从﹣3，1，3中选择一个适当的数．【解答】解：＝＝＝，∵x+1≠0，x﹣4≠0，∴x≠﹣1，x≠7，∴取x＝3，当x＝3时，原式＝．20．如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，在线段AC上找一点E，使得△ABD∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，点E即为所求.21．如图，在▱ABCD中，BE⊥DC于E，F为AE上一点，使∠BFE＝∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝2，AD＝3，∠BAE＝30°【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE＝∠AED，∠C+∠D＝180°，∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，∵∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∵∠BAE＝30°，∴cos30°＝＝，∵AB＝6，∴AE＝4，∵△ABF∽△EAD，∴＝，∴＝，∴BF＝．22．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，小芳沿CD后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝5米，EG＝1.5米，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG【解答】解：由题意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∴△ACE∽△FDE，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∴△BCG∽△FDG，∴，即，∴3.5BC＝4（CD+8.5），∴6.4BC＝4×，∴BC＝14（米），∴这座建筑物的高BC为14米．23．金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，设每箱猕猴桃降价x元．（1）当x为多少时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元．（2）设每天销售猕猴桃可获利w元，当x为多少时w最大，并求出最大值．【解答】解：（1）每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出（120+10x）箱，由题意得：（60﹣44﹣x）（120+10x）＝1800，整理得：x2﹣4x﹣12＝7，解得：x1＝6，x2＝﹣2（舍去）；答：x为6时，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元．（2）由题意得：w＝（60﹣44﹣x）（120+10x），即w＝﹣10x7+40x+1920，配方得：w＝﹣10（x﹣2）2+1960，由于二次项系数为负数，则当x＝6时，最大利润为1960元；答：x为2时w最大，最大值为1960．24．如图，▱ABCD的面积为96，AB＝10，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，求正方形EFGH的边长；（2）如果点F在AB边上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．【解答】解：（1）作AK⊥BC，如图所示：∵BC×AK＝96，BC＝12，∴AK＝8；∵AB＝10，∴，∴AK垂直平分BC，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，∵四边形是EFGH是正方形，∴，∴，∵EF⊥BC，∴AK∥EF，∴△BEF∽△BKA，∴EF：AK＝BE：BK，∴，解得：EF＝4.8，即：正方形EFGH的边长为4.8；（2）①当点G在对角线AC上时，由（1）得：∠B＝∠C，∵∠BEF＝∠GHC＝90°，∴△BEF∽△CHG，满足题意，此时：；②当点G在△ABC内部时，若∠B＝∠CGH，则有△BEF∽△GHC；∴EF：BE＝CH：GH，