数学教案：组合第三课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三课时教学目标知识与技能理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．eq\o(\s\up7（),\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(复习回顾）)提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题?并求出下列问题的解．（1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛?(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法？(4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5）10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计:学生自主完成,教师提问．活动成果：(1）(3)(4)是排列;（2)(5)是组合．(1）Aeq\o\al(2,3）＝6；（2)Ceq\o\al（2，11)＝55；(3）Aeq\o\al(3，23）＝10626；(4)Aeq\o\al（2,10)＝90；(5）Ceq\o\al(2,10）＝45。1．从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数公式：Aeq\o\al（m，n)＝n(n－1)(n－2）…(n－m＋1）（m，n∈N，m≤n）．Aeq\o\al（m，n)＝n(n－1)(n－2)…（n－m＋1）＝eq\f（n!，（n－m）！）＝eq\f（A\o\al(n，n），A\o\al(n－m,n－m))。3．组合的概念:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．4．Ceq\o\al(m，n）＝eq\f（A\o\al(m，n),A\o\al(m，m）)＝eq\f（n（n－1）（n－2）…(n－m＋1），m！)或Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(n！，m！(n－m）！）(n，m∈N，且m≤n）．设计意图：回顾本单元基础知识，为本节课的学习服务．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(典型例题））类型一：排数字问题1（1)用0,1，2,3,4能组成多少个无重复数字的四位数?（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？思路分析:可以从特殊元素或特殊位置入手直接分析，也可以从对立面间接排除．解：(1）直接分类法：①特殊元素分析法：分两类：选0，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3，4)＝72个；不选0，有Aeq\o\al（4,4)＝24个．根据分类加法计数原理可得共有72＋24＝96个．②特殊位置分析法:先考虑首位，可以从1,2,3，4四个数字中任取一个，共Aeq\o\al（1，4）种方法，再考虑其他三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个,即Aeq\o\al(3,4）种方法．根据分步乘法计数原理共有Aeq\o\al(1，4)Aeq\o\al（3,4）＝96种方法,即96个无重复数字的四位数．③间接排除法：先从五个数字中任取四个排成四位数：Aeq\o\al（4，5)，再排除不符合要求的四位数,即0在首位的四位数：Aeq\o\al（3,4)。则共有Aeq\o\al（4,5)－Aeq\o\al（3,4)＝96个．（2）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数的数．分析：因为不含0时,1＋2＋3＋4＝10，10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0,1，2,3或0，2，3,4，共有2（Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3）)＝36个．点评：对于有特殊元素和特殊位置的问题，往往有三种方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接排除法．【巩固练习】用0，1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列．（1）第49个数是多少?(2)23140是第几个数？解：(1）首位是1,2,3,4组成的五位数各24个．所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124.(2)首位为1组成Aeq\o\al（4，4)＝24个数；首位为2，第二位为0，1共组成2Aeq\o\al(3，3）＝12个数．首位为2,第二位为3，第三位为0的数共Aeq\o\al(2，2)＝2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104.由分类加法计数原理得：Aeq\o\al（4，4）＋2Aeq\o\al（3，3）＋Aeq\o\al（2,2）＋1＝39.按照从小到大的顺序排列,23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数．类型二:分组分配问题2(1)6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法：①分给甲、乙、丙三人，每人两本；②分成三份，每份两本；③分成三份,一份1本,一份2本，一份3本；④分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；⑤分给5个人，每人至少一本；(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法?思路分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理,结合排列数和组合数来解决这类问题．解：(1)①分成三个步骤：第一步，选2本书分配给甲，有Ceq\o\al(2，6）种方法；第二步,从剩下的4本书中选2本书分配给乙，有Ceq\o\al(2,4）种方法;第三步,将剩下的2本书分配给丙，有Ceq\o\al（2，2)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(2，6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2）＝90种方法．②在①的基础上去掉顺序即可，有eq\f（C\o\al(2，6）C\o\al(2,4）C\o\al(2,2）,A\o\al(3,3)）＝15种方法．③分成三个步骤：第一步,选1本书成为一组,有Ceq\o\al（1,6）种方法;第二步，从剩下的5本书中选2本书成为一组,有Ceq\o\al（2，5）种方法;第三步，剩下的3本书成为一组，有Ceq\o\al（3,3)种方法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al（1,6）Ceq\o\al（2,5)Ceq\o\al(3，3)＝60种方法．④在③的基础上，把三组书分配给三个人即可，有Ceq\o\al（1，6)Ceq\o\al(2,5）Ceq\o\al(3，3）Aeq\o\al(3，3）＝360种方法．⑤分成两个步骤：第一步，分成5组，有Ceq\o\al(2，6）种方法;第二步，将5组分配给5个人，有Aeq\o\al（5,5）种方法．根据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al（2,6）Aeq\o\al（5,5）＝1800种方法．(2）分成两个步骤：第一步，分成3组，有Ceq\o\al（2,5)种方法；第二步，将3组分配给3个人，有Aeq\o\al（3，3)种方法．根据分步乘法计数原理,共有Ceq\o\al(2，5)Aeq\o\al(3，3）＝60种方法．点评:在解决问题时，要先考虑分类还是分步完成，然后考虑是否有顺序，再确定方法．【巩固练习】1．今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,其中两份各1件，另一份4件,有多少种分法？2．今有10件不同奖品，从中选6件分给甲乙丙三人，每人二件，有多少种分法?答案：1.Ceq\o\al（6,10）Ceq\o\al（4，6)＝31502.Ceq\o\al(6，10）Ceq\o\al（2，6）Ceq\o\al（2,4）Ceq\o\al（2，2)＝18900。【变练演编】对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，直至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能？提示：因为在第5次测试时全部发现次品，所以第五次测试的一定是次品,前四次有三次出现次品．所以共有Aeq\o\al（3，4）Ceq\o\al（1,6)Ceq\o\al（1，1)＝144种可能．【达标检测】1．把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有____________种．2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________________．3．要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为____________．（用排列数和组合数表示）答案：1。92。93。Ceq\o\al(3，8）Ceq\o\al（2,7）＋Ceq\o\al（2,8）Ceq\o\al(3，7）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结）)1．知识收获:进一步复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列、组合的概念．2．方法收获：(1)注意区别“恰好”与“至少”；（2）特殊元素（或位置）优先安排;（3）“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”；（4)混合问题，先“组”后“排”．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(补充练习)）【基础练习】1．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个(用数字作答)．2．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有______种．3．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1，2,3，4,5,6，7，8,9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是______．答案:1.5762。963。8424【拓展练习】4．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同的派遣方案？解：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况：①若甲乙都不参加,则有派遣方案Aeq\o\al（4,8）种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有Aeq\o\al（3，8)种方法，所以共有3Aeq\o\al（3，8）种方案；③若乙参加而甲不参加,同理也有3Aeq\o\al（3,8)种方案；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有Aeq\o\al（2，8)种,共有7Aeq\o\al(2，8)种方法．所以共有不同的派遣方案总数为Aeq\o\al(4，8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋3Aeq\o\al（3,8)＋7Aeq\o\al(2，8）＝4088.eq\o(\s\up7(）,\s\do5(设计说明))本节课是排列组合复习课,目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三,达到灵活掌握的程度．eq\o(\s\up7()，\s\do5（备课资料))相同元素的分配问题隔板法：1把20个相同的球全放入编号分别为1,2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？解:向1,2，3号三个盒子中分别放入0,1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份,每份至少一球，运用隔板法，共有Ceq\o\al（2，16）＝120种．210个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案？解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为Ceq\o\al（6,9）＝84种．变式1:7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有______种．变式2：马路上有编号为1,2,3，4,5，6，7,8,9的9盏路灯,为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有________种．3将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子