数学教材梳理平均数及其估计

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、平均数公式样本数据a1,a2,…,an的平均数或均值：.在总体中抽取样本求出样本的平均数，这样就可以用它来估计总体的平均水平，应注意到样本平均数只是总体平均数的近似。在样本频率分布直方图中，平均数是直方图的“重心"，即平衡点。学法一得求和符号的使用：“∑”希腊字母，表示求和的意思，读作“西格马",ai中i是变量，i从1到n,即a1，a2，…,an,只是一个符号，表示a1，a2,…，an相加，因此,=a1+a2+…+an,用它书写比较方便。再如，等等。在统计学及高等数学中普遍使用这个符号。二、平均数的性质（1）若给定一组数据x1，x2,…,xn的平均数为，则ax1,ax2,…，axn的平均数为a;（2）若给定一组数据x1,x2,…，xn的平均数为，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b；（3）若给定的一组数据x1，x2，…,xn较大，直接求平均数较为烦琐时,可以将每个数据都减去常数a，得到一组新数据x1′，x2′，…，xn′，计算出新数据组的平均数为,则原数据组的平均数为+a；(4）若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M+N个数的平均数是。如果两组数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的样本平均数分别是和，那么一组数x1+y1,x2+y2，…,xn+yn的平均数是。三、众数，中位数，平均数各自的作用（1）众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算，但它只能表达样本数据中很少一部分信息，显然对其他数据信息的忽略使得无法客观地反映总体特征.(2）中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据中排在中间数据的信息。但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。（3）由于平均数与每一个样本的数据有关，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不具有的性质.也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息。但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.联想发散如在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数，计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分"的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性。四、加权平均数一般地,若取值x1，x2，…,xn，其频率分别为p1，p2，…，pn，则平均数为=x1p1+x2p2+…+xnpn。证明：设总体为n,样本x1,x2,…，xn出现的次数为m1,m2，…,mn，则p1=，p2=，…,pn=，∴=x1p1+x2p2+…+xnpn.使用此公式可简化计算.典题·热题知识点一样本平均数的基本概念例1若s2=,写出其展开式。思路分析:原式是求x1-15,x2—15，…，x10-15共10项的平方和的.解：s2=［(x1-15）2+(x2—15)2+…+（x10-15）2］.例2若a、b、c的平均数是x，则2a+1，2b-1,2c+3的平均数是（）A.2aB。+1C。D.2+1思路解析:[（2a+1)+(2b—1）+（2c+3）]/3=2+1.答案：D知识点二利用众数、中位数、平均数对总体进行分析例3被誉为“杂交水稻之父"的中国科学院院士袁隆平，为得到良种水稻,进行了大量的试验，下表是在10个试验点对甲、乙两个品种的对比试验结果：品种各试验点亩产量(kg)12345678910甲390409427397420482397389438432乙404386363375375430373370353412试估计哪个品种的平均产量更高一些?思路分析:需要计算甲、乙两个品种的平均亩产量。解:甲、乙两个品种的样本平均数分别是=（390+409+…+432）÷10=418.1,=（404+386+…+412)÷10=384。1。由＞可以估计，甲种水稻的平均产量比乙种水稻的平均产量要高一些。巧解提示本题解法中计算平均数较繁,一般地，可以以400为常数a，所有各数分别减去400得出一组新数据,再求10个新数据的平均数x′,从而求出平均数x=x′+400，这样计算过程较为简便.例4某工厂人员及工资构成如下表：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中的众数、中位数、平均数;(2)在这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么?思路分析：本题应着眼于众数、中位数、平均数各自的特点及适应对象。众数是数据中出现次数最多的数.中位数是指如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列,当数据有奇数个时，处在最中间的一个数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数。一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数。解:(1）由表格数据可知众数为200。∵2200+1500=3700〉1100+2000+100=3200,∴中位数为250。平均数为（2200+1500+1100+2000+100)÷23=300.（2)虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可以看出，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。误区警示该题进一步说明平均数受数据中的极端值的影响较大,妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更客观。问题·探究思想方法探究问题我们常用算术平均数〔其中ai(i=1，2，…，n)为n个实验数据〕作为数据a1，a2,…,an的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？探究过程:处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小.设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai(i=1，2,…，n)的离差分别为x-a1,x-a2，x—a3,…，x—an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑离差的平方和,即