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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年山西省运城市高二(上)测评数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中,点(−3,2,−1)关于x轴对称的点的坐标是(
)A.(3,2,−1) B.(3,−2,1) C.(−3,−2,1) D.(−3,−2,−1)2.直线l:x+3y+2=0的一个方向向量为(
)A.(3,−2) B.(−3,1) C.(1,3) D.(3,2)3.已知空间向量a=(3,2,1),b=(2,m,−3),若(a−bA.4 B.6 C.234 D.4.已知圆x2+y2−2x+6y+1=0关于直线x+y+m=0A.−2 B.1 C.−1 D.25.已知向量m=(1,3,−1),n=(−1,4,−2),p=(1,10,z),若m,n,p共面,则实数z=A.−4 B.−2 C.3 D.16.圆C1:x2+y2−6y+5=0与圆CA.4 B.3 C.2 D.17.在四棱锥P−ABCD中,AB=(−3,−6,3),AD=(3,0,6),AP=(−5,1,3),则此四棱锥的高为A.26 B.29 C.6 8.已知M,N是圆O:x2+y2=8上两点,且|MN|=4,若直线x−ay+6=0上存在点P使得OM+A.(−∞,−52]∪[52,+∞) 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知直线l经过点(2,3),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为(
)A.3x−2y=0 B.2x+y−7=0 C.x+y−5=0 D.x−y+1=010.已知直线l:kx−y+2k=0,圆C:(x+1)2+(y−2)A.直线l过定点(−2,0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短时,直线l的方程为x−2y+2=0
D.直线l被圆C截得的弦长为4时,k=±11.已知点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1A.存在点P,使得AP=13AB+13AD+13AA1
B.若E是AB中点,当P在棱B1C1上运动时,存在点P使得PE=PD
C.当P在线段B1D1上运动时,AP三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知M(1,3),N(2,1),若点P(x,y)在线段MN上,则yx+2的取值范围是______.13.已知P(x,y)是圆C:(x−1)2+(y−2)2=1上任意一点,若|x+y+a|+|1−x−y|的取值与x、14.空间直角坐标系O−xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
如图,平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°,AB=AD=1,AA1=2,P为A1C1上靠近点A16.(本小题15分)
已知两直线l1:3x+y−9=0和l2:2x−y−1=0的交点为P.
(1)若直线l过点P且与直线x+2y−1=0平行,求直线l的一般式方程;
(2)若圆C过点(−2,5)且与l1相切于点P,求圆17.(本小题15分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,且AD=PA=2,AB=3,∠DAB=60°,点E为线段PC的中点,点F是线段AB上靠近点A的三等分点.
(1)求证:平面DEF⊥平面PAB;
(2)求平面DEF和平面PAD的夹角的余弦值.18.(本小题17分)
已知以点C为圆心的圆(x−a)2+(y−3a)2=a2+9a2(a>0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,O为坐标原点.(M,N与O不重合)
(1)求证:△MON的面积为定值;
(2)设直线3x+y−3=0与圆C交于点A,B,若|OA|=|OB|,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,设P19.(本小题17分)
如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,动点P在直线A1B1上,且A1P=λA1B1.
(1)是否存在点P,使得AM⊥PN?若存在,试确定点
参考答案1.C
2.B
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.AB
11.BCD
12.[113.(−∞,−14.6915.解:(1)平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°,AB=AD=1,AA1=2,P为A1C1上靠近点A1的三等分点,设AB=a,AD=b,AA116.解:联立方程组3x+y−9=0,2x−y−1=0,解得x=2,y=3.
所以直线l1:3x+y−9=0和l2:2x−y−1=0的交点P(2,3).
(1)因为直线l与直线x+2y−1=0平行,故可设直线l:x+2y+c1=0.
又直线l过点P,则2+6+c1=0,解得c1=−8,
即直线l的方程为x+2y−8=0.
(2)设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2,
直线l17.解:(1)证明:因为点F是线段AB上靠近点A的三等分点,AB=3,所以AF=1.
在△ADF中,AD=2,AF=1,∠DAB=60°,由余弦定理,得DF2=AD2+AF2−2AD⋅AF⋅cos∠DAB=3,
所以DF=3,所以DF2+AF2=AD2,即DF⊥AF.
因为PA⊥平面ABCD,DF⊂平面ABCD,所以PA⊥DF.
又PA∩AF=A,PA,AF⊂平面PAB,所以DF⊥平面PAB.
因为DF⊂平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.
(2)过点D作DG//PA,易证DG⊥平面ABCD,显然直线DF,DC,DG两两垂直,
故以D为原点,直线DF,DC,DG所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系D−xyz,
则D(0,0,0),A(3,−1,0),P(3,−1,2),C(0,3,0),F(3,0,0),E(32,1,1),
所以DA=(3,−1,0),PA=(0,0,−2),DE=(32,1,1),DF=(3,0,0).
设平面PAD的法向量为m=(a,b,c),18.解:(1)证明:由圆C的方程(x−a)2+(y−3a)2=a2+9a2(a>0),化简得x2−2ax+y2−6ay=0,
其与x轴,y轴的交点分别为:M(2a,0),N(0,6a),
所以S△MON=12|2a|⋅|6a|=6为定值;
(2)如图①所示,因为|OA|=|OB|,所以OC⊥AB.
又OC的斜率k=3a2,所以(3a2)×(−3)=−1,
解得a=3(负数舍去),所以实数a的值为3;
(3)如图②所示,由(2)知:圆C的方程为:(x−3)2+(y−1)2=10,圆心C(3,1),半径r=10,N(0,2).
设点N关于直线x+y+4=0的对称点为N′(x,y),
则NN′中点为(x2,2+y2),
由19.解:(1)如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,
则A1(0,0,2),B1(1,0,2),M(0,1,1),N(12,12,0),
A1P=λA1B1=λ(1,0,0)=(λ,0,0),AP=AA1+A1P=(λ,0,2),
即P(λ,0,2),PN=(
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