2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01（新高考地区专用集合与逻辑 不等式 函数 指数函数）（全解全析）

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。5．难度系数：0.69。第一部分（选择题共58分）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】因为命题，，所以：，.故选：C2．已知全集为R，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.C中，，错误.D中，由，则，，正确.故选：D．3．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】当时，，此时，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．或C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间0,+∞上单调递增，不满足条件，排除A，B；所以，定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.5．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】关于的不等式的解集是或，∴1和3是方程的两个实数根，且．则解得所以不等式等价于，即，解得．所以不等式的解集是故选:B．6．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意，所以当时，，所以.故选：D.7．已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为对任意，都有成立，所以为上的增函数，所以，解得，即，故选：C.8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则，又为偶函数，则，故关于对称，则，则，是周期为4的周期函数，又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减，又，则，因此，又关于的不等式对恒成立，则，因此，可得，，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．函数的定义域为，则函数的定义域为B．和表示同一个函数C．函数的值域为D．定义在上的函数满足，则【答案】ACD【详解】A选项，对于，令，则，则，所以，即的定义域为，A选项正确；对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确；对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确；对于D，由可得，所以由可得，D选项正确；故选：ACD.10．下列说法正确的是（

）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为C．已知，则的最小值为3D．若正数满足，则的最小值是4【答案】ACD【详解】对于A，，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故A正确；对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3.故B错误；对于C，因为，，，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确；对于D，因为，，，所以，则，当且仅当即时等号成立，此时，所以的最小值为4.故D正确.故选：ACD.11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（

）A． B．为奇函数C．在R上单调递减 D．当时，【答案】ABD【详解】A选项，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】解：，，因为p是q的充分不必要条件，所以，则，即.经检验满足条件.故答案为：.13．已知函数，则.【答案】3【详解】，，故答案为：314．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是．①函数的最大值为；

②函数的最小值为；③函数的图象与直线有无数个交点；

④.【答案】②③④【详解】由题意得：，由解析式可得函数图形如下图所示，

对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确；对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确；对于④，函数满足，④正确；故答案为：②③④四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）求值：；（2）已知，求值：.【详解】（1）原式...........................6分（2）由，而，.................................................9分则，故..........................................................13分16．（15分）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求的取值范围．【详解】（1）由题设，则，........................................................3分或，则...............................................................................6分（2）由，.....................................................................................................8分若时，，满足；.............................................................................10分若时，；..................................................................................14分综上，..................................................................................................................................15分17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则函数图象如图所示．...............................................................2分故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；....4分（2）根据题意，令，则，则，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，....................................................................................6分所以.........................................................................8分（3）当时，，则，其对称轴为，..............................................................................9分当时，即，则，...........................11分当时，即，则，............................13分故.............................................................................15分18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；(3)，使得成立，求实数的取值范围.【详解】（1）因为，,定义域关于原点对称，令，所以，故，...................................................................2分则，，所以为定义在上的奇函数，故...................................................................4分（2）是上的增函数.证明：任取，且，，......6分因为，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函数........................................................................................................9分（3）当时，不等式即，...................................11分故，则令，由题意可知，，....................................................13分因为函数，为上的增函数，故在上单调递增，故，所以....................................................................................................................................17分19．（17分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，是倒函数，............................................................................................................3分对于，定义域为，故当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数；.....................................................................................................6分（2）因为，又是上的倒函数，所以，所以，故，.................................................................9分充分性：当时，且，又在上是严格增函数，所以，，所以，，故..