2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲等比数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

二、多选题9．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（

）A．-7 B．5 C．6 D．710．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．是递增数列三、填空题11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则．12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，是等比数列，若，，则．四、解答题13．（22-23高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知，．(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．B能力提升1．（23-24高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）等比数列的首项为4，公比为3，前n项的和为，若（n，），则的最小值为.3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．C综合素养（新定义解答题）1．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．第03讲等比数列及其前n项和(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等比数列的前2项和为12，，则公比的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【知识点】等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解.【详解】由题意知，设等比数列的公比为，则，即，解得，.所以.故选：A2．（23-24高三下·广西·阶段练习）已知为等比数列，，，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【知识点】等比数列通项公式的基本量计算【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解.【详解】由题得，，故，，故，即，，所以.故选：D.3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】等比中项的应用【分析】利用等比中项的性质求解即可.【详解】由等比数列的性质，得，所以.故选:B.4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】等比数列下标和性质及应用【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果；【详解】若，是的两个根，则，因为数列是等比数列，，.故选：C.5．（24-25高三上·安徽·开学考试）设公差的等差数列中，成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等比中项的应用【分析】由题意可得，根据求解即可.【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列，所以，即，解得，所以.故选：A.6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知数列是等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项【分析】根据已知条件算出等比数列的首项和公比，即可计算.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以由，得，所以，又，即，所以，所以.故选：B.7．（2024·山西太原·二模）已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（

）A．9 B．9或18 C．13 D．13或37【答案】B【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】设等比数列的公比为，当时求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得，当时根据等比数列求和公式求出，从而求出，即可求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】设等比数列的公比为，由且，当时，则，符合题意，则，又，所以，所以；当时，则，即，解得（舍去）或，所以，则，又，所以，所以；综上可得或.故选：B8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列中，，，则（

）A． B． C．72 D．144【答案】D【知识点】等比数列通项公式的基本量计算【分析】设公比为，然后由已知条件列方程可求出，从而可求出.【详解】设公比为，因为，，所以，得，得，所以或（舍去），所以，所以.故选：D二、多选题9．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（

）A．-7 B．5 C．6 D．7【答案】BD【知识点】等比数列下标和性质及应用【分析】由题意结合等比数列下标和的性质可得，结合即可求解.【详解】，，又，而，或.故选：.10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．是递增数列【答案】ACD【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、判断数列的增减性【分析】由题中条件可得，判断A；通过两式相减的，变形可得出，判断B；根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；【详解】对于A，由得，，所以．A正确；对于B，将与整体相减得，，所以，又，即，所以．因此不是等比数列，B错误；对于C,因为，所以当时，．当时，．当时，，因此,C正确；对于D，因为，所以，所以，因此是递增数列，D正确；故选:ACD．三、填空题11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则．【答案】3【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算【分析】根据等比数列性质和对数运算即可.【详解】由题意得.故答案为：3.12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，是等比数列，若，，则．【答案】【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算【分析】根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解.【详解】由等差数列的性质可知，，即，而，根据等比数列的性质可知，，则，，所以.故答案为：.四、解答题13．（22-23高二下·北京延庆·期中）在数列中，已知，．(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．【答案】(1)，(2)，(3)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可；（2）根据等比数列的通项公式及求和公式计算即可；（3）根据，时，求解即可．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，所以，．（2）设等比数列的首项为，公差为，则，解得，，所以，．（3）由已知得，当时，，当时，，又因为，所以．B能力提升1．（23-24高二下·广东佛山·期中）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为，商家第次的讨价为，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；…，顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即，现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到2元，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知识点】由递推关系证明等比数列【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得的最小值.【详解】依题意可知，，则，又，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，由得，其中，解得，因此的最小值为.故选：B.当时，，②联立①②，解得，所以数列的通项公式．（2）由（1）知．所以，所以．设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．则，所以，即，又因为成等差数列，所以，所以，化简得，所以，又，所以，与已知矛盾，所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．C综合素养（新定义解答题）1．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．【答案】(1)是T数列，理由见解析(2)证明见解析(3)或．【知识点】数列新定义、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断；（2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果；（3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求.【详解】（1）是T数列，理由：由题知，即，所以，，当时，，所以是T数列．（2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，，所以对任意正整数，存在正整数满足：，显然时，存在，满足，

取，得，所以，可以验证：当，2，3，4时，都不成立，故不是T数列.（3）已知是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，若，则，任意，这不可能成立；若，故对任意，总存在使得该等式成立，故必为整