2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲指数与指数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

6．（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知且，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．8．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）已知，下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．10．（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（

）A．2 B．4 C．6 D．8三、填空题11．（2024上·江西·高二校联考期末）．12．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为．四、解答题13．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．14．（2024下·吉林长春·高一长春外国语学校校考开学考试）已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为(1)求实数的值；(2)若，当时，解不等式．B能力提升1．（2024·四川·校联考一模）函数的图象大致是（

）．A．

B．

C．

D．

2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C． D．3．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知函数，若，则（

）A． B．1 C．-5 D．54．（2024下·河南·高一校联考开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为.5．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为.C综合素养6．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．(1)试判断函数与是否为“速增函数”；(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．7．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异.通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.(1)设，求W=的最小值.(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.第05讲指数与指数函数(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024下·全国·高一开学考试）下列运算中，正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】AB选项，根据指数运算法则计算出答案；CD选项，根据指数运算和对数运算法则进行计算.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C错误；D选项，，D错误.故选：A2．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）当且时，函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指数函数的性质即可求解.【详解】当时，，与无关，则函数恒过定点．故选：B.3．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.【详解】因为，则，所以.故选：C.4．（2024下·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.【详解】由函数，，令，解得，则其定义域为，关于原点对称，所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.故选：A5．（2024下·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．且【答案】A【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.【详解】由函数为指数函数，故且，当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去；当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确.故选：A.6．（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知且，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不大于后一段的函数值，求解即可.【详解】函数在上单调递增，，，实数的取值范围为，故选：D.7．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.【详解】函数为上的奇函数，当时，，则当时，，有，显然，不等式转化或，解得或，所以不等式的解集为.故选：C8．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得.【详解】函数的定义域为R，，即函数是R上的偶函数，当时，，函数在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，因此在上单调递增，而不等式，于是，两边平方得，解得，所以所求不等式的解集为.故选：B二、多选题9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）已知，下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.【详解】A：，故A正确；B：，故B正确；C：，故C正确；D：，故D正确；故选：ABCD.10．（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知，则的值可以为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】CD【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可.【详解】由得：，解得，即，由于，，当且仅当（即）时取得等号.故选：CD.三、填空题11．（2024上·江西·高二校联考期末）．【答案】112【分析】根据完全平方式的特征即可求解.【详解】,故答案为：11212．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则由得，解得，即不等式的解集为．故答案为：四、解答题13．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.【详解】（1）由题意，所以.（2）由题意，所以.14．（2024下·吉林长春·高一长春外国语学校校考开学考试）已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为(1)求实数的值；(2)若，当时，解不等式．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据函数的单调性，求函数的最值，结合条件，即可求解；（2）首先求函数的解析式，再根据函数的性质，化解不等式，即可求解.【详解】（1）当时，，，则，解得当时，，，则，解得综上得：或（2）当时，由（1）知，为奇函数且在上是增函数，∴即，，得或，所以，不等式的解集为.B能力提升1．（2024·四川·校联考一模）函数的图象大致是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据题意，得到函数为偶函数，排除C，D，再结合，利用的函数值的符号，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，且，可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排除C，D；当时，可得，若时，，则；若时，可得，则，此时B不符题意.故选：A2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C． D．【答案】C【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.【详解】在中，当时，，故，将代入直线方程中，化简得，故，当且仅当‘’时取等，即的最小值为.故选：C3．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知函数，若，则（

）A． B．1 C．-5 D．5【答案】A【分析】构造函数，证明其为偶函数，据此可得解.【详解】设，则，所以，即，所以.因为，所以.故选：A4．（2024下·河南·高一校联考开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为.【答案】【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式.【详解】由知，函数是周期函数，周期为4，，得，所以当时，，设，,则，得，即，当，，则，得，即，综上可知不等式的解集为.故答案为：5．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为.【答案】(答案不唯一)【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可.【详解】设，因为，故满足①；图象为：故满足②；设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③.故答案为：(答案不唯一).C综合素养6．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．(1)试判断函数与是否为“速增函数”；(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．【答案】(1)是“速增函数”，不是“速增函数”，所以，又因为当时，，所以，由对一切正数恒成立，可得，即．综上可知，a的取值范围是．7．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异.通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.(1)设，求W=的最小值.(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)．【分析】（1）先证明在为凹函数，再利用琴生不等式求解