专题116平面直角坐标系章末六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题11.6平面直角坐标系章末六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1坐标与点的移动规律探究】 1【题型2坐标与图形变换规律探究】 4【题型3坐标系中的新定义问题探究】 6【题型4坐标系中的动点问题探究】 13【题型5坐标系中角度之间的数量关系问题探究】 22【题型6坐标系中图形问题探究】 29【题型1坐标与点的移动规律探究】【例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期中）如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,0)、A4(0,2)、A5(0,3)、A6(3,0)、AA．(0,1011) B．(1011,0) C．(0,1012) D．【答案】D【分析】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A1(0，1)，A2(1，0)，A3(2，0)，A4(0，2)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1-1，2=2×1；第2组：A5(0，3)，A6(3，0)，A7(4，0)，A8(0，4)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2-1，4=2×2；……以此类推，2023=4×505+3，则点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012，故点A2023故选：D．【点睛】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．【变式11】（2023春·八年级统考期末）如图，已知A11,1，A22,-1，A34,4，A46,-4，A57,1，A

A．3032,-1 B．3034,4 C．3036,4 D．3031,1【答案】B【分析】先找到点的规律，然后计算解题即可．【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，∴2023÷4=505⋯3，则A2023的横坐标为：505×6+4=3034，纵坐标为4故选B．【点睛】本题考查坐标的规律问题，解题的关键是找到点的坐标规律．【变式12】（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1-4,0依次跳动到A2-4,1，A3-3,1，A4-3,0，A5-2,0，A6-A．2023,0 B．805,0 C．804,1 D．805,1【答案】D【分析】由图可知，10个坐标为一循环，因此判断A2023对应的坐标是A3-3,1，那么纵坐标为1，横坐标每多一个循环则大【详解】∵2023÷10=202……3∴A2023对应的坐标为∴A2023横坐标为∴A故选：D【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．【变式13】（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），……，依此规律跳动下去，点A第2018次跳动至点A2018的坐标是.【答案】（1010，1009）【分析】观察所给图形，不难得到第偶数次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半加上1，纵坐标是跳的次数的一半；由此可得规律：第2n次跳动至点A2n的坐标是(n+1，n)，进而求出点A2018的坐标．【详解】解：观察发现可知：第2次跳动至点A2的坐标是（2，1），第4次跳动至点A4的坐标是（3，2），第6次跳动至点A6的坐标是（4，3），第8次跳动至点A8的坐标是（5，4），…则第2n次跳动至点A2n的坐标是（n+1，n），故第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）．故答案为（1010，1009）．【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确偶数次跳动的点的横坐标、纵坐标与跳动次数的关系．【题型2坐标与图形变换规律探究】【例2】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7,⋯都是斜边在x

A．1,-1013 B．1,-1011 C．2,1012 D．2,1010【答案】B【分析】根据题意发现规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数；当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，据此即可得到答案．【详解】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，∴各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，∴A21,-1、A42,2，A61,-3当下标为偶数时的点的坐标规律如下：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，∵每四个字母为一组，2022÷4=5052，点A2022纵坐标是2022÷2=1011，∴A2022故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键．【变式21】（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△A．(n,3),(n2,0) B．(n【答案】D【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出A1,A2,【详解】解：∵A∴A∵B∴B故选：D．【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键．【变式22】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0=1，以点M1为直角顶点，OM1【答案】-【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次数的对应关系．【详解】由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的2倍∵2019＝252×8＋3∴点M2019∴点M2019的坐标为-故答案为：-2【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．【变式23】（2023春·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为．【答案】[(n【分析】利用图形分别得出B点横坐标B1，B2，B3，…的横坐标分别为：42，92，162，【详解】解：分别过点B1，B2，B3，作B1D⊥x轴，B2E∵A∴A1A2=3-1=2，A1D=1可得出B1∵A∴A3A2=6-3=3，E可得B2(9同理可得出：B3(8,2)，B4(25∵B1，B2，B3，…的横坐标分别为：42，9∴点Bn的横坐标为：(∵B1，B2，B3，…的纵坐标分别为：1，32，4∴点Bn的纵坐标为：n∴点B5的坐标为(18,3)；点Bn的坐标为：[(故答案为：[(n+1)【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．【题型3坐标系中的新定义问题探究】【例3】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校联考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．(1)①点A的坐标为(3,0)，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为；②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点(0,2)，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为；(2)点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为；(3)点P的坐标(-10,3)，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)①(2,2)；②(4,-1)(2)2(3)不存在，理由见解析【分析】（1）①利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义，可求解；②利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义，可求解；（2）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解；（3）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解．【详解】（1）解：①∵点A的坐标为(3,0)，∴点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标(2,2)，故答案为：(2,2)；②∵点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点(0,2)，∴点B坐标为(1,0)，∴点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为(4,-1)，故答案为：(4,-1)；（2）设点C(∵点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，∴0+2a∴2a故答案为：2a（3）不存在，理由如下：设经过m次“第1类变换”，经过(20-m)次“第Ⅱ类变换”，使得点Q恰好在∵点P的坐标(-10,3)，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，点Q恰好在y轴上，∴-10-1×m∴m∵m∴m∴不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上．【点睛】本题是平移变换综合题，理解点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义是解题的关键．【变式31】（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x,y)，给出如下定义：记a=x+y，b=-y例如：点P(2,3)的一对“相伴点”是点(5,-3)与(-3,5)(1)点Q(4,-1)的一对“相伴点”的坐标是______与______(2)若点A(8,y)的一对“相伴点”重合，则y(3)若点B的一个“相伴点”的坐标为(-1,7)，求点B的坐标．【答案】(1)(1,3)，(3,1)；(2)-4(3)(6,-7)或(6,1)．【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．【详解】（1）∵Q∴a=4+(-1)=3，∴点Q(4,-1)的一对“相伴点”的坐标是(1,3)与(3,1)故答案为：(1,3)，(3,1)；（2）∵点A(8,∴a=8+y∴点A(8,y)的一对“相伴点”的坐标是(8+∵点A(8,y)的一对“∴8+y∴y故答案为：-4（3）设点B(∵点B的一个“相伴点”的坐标为(-1,7)，∴x+y=-1∴x=6y=-7∴B(6,-7)或【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．【变式32】（2023春·北京海淀·八年级北理工附中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点Px,y的“绝对距离”，给出如下定义：若x≥y，则点P的“绝对距离”为x；若x<y，则点P的“绝对距离”为y．例如：点P-4,1，因为-4>1，所以点P-4,1的“绝对距离A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据点Px,y的“绝对距离”为2，可知x=2，y≤2或y【详解】解：∵点Px,y的“绝对距离”∴x=2，y≤2或y=2即x=2时，-2≤y≤2，x=-2时，-2≤y≤2，即可确定点P组成的图形为图D中的正方形，故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．【变式33】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）定义：已知平面上两点Ax1,y1，Bx2,y2，称dA,B=x

(1)dA,(2)过点B作直线l平行于y轴，求直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标；(3)已知点Nn,n，且d(4)已知平面上点P与原点O的折线距离为3，即dP,O【答案】(1)4(2)-1，(3)1(4)18【分析】（1）根据折线距离的定义进行求解即可；（2）根据题意可得直线l上的点的横坐标都为-1，设点K-1，t是直线上与点A（3）由题意可得n-（4）设Px，y，则x-0【详解】（1）解：由题意得，dA故答案为：4；（2）解：∵直线l平行于y轴，B-∴直线l上的点的横坐标都为-1设点K-1，t是直线上与点∴dA∴t-∴t-1=2或∴t=3或t∴点K的坐标为-1，-∴直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标-1，-（3）解：∵A2,1，Nn,∴n-当n>2时，则n-2+∴2<n当1≤n≤2时，则2-n当n<1时，则2-n+1-∴12综上所述，12（4）解：设Px∵dP∴x-∴x+∴当x≥0，y当x≥0，y当x<0，y当x<0，y∴点P围成的图形区域即为四边形CDEF（C-3

∴围成的图形面积为2×1【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元一次不等式，解绝对值方程等等，正确理解题意是解题的关键．【题型4坐标系中的动点问题探究】【例4】（2023春·吉林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，边AB在x轴上，AD⊥x轴．已知点A坐标为(2,0)，点C坐标为(6,3)．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA-(1)点D坐标为；(2)连接PC，当直线PC将长方形ABCD的面积分为1:2的两部分时，求x(3)连接OP，OD，直接写出三角形OPD的面积为3时，点P的坐标．【答案】(1)(2(2)x=43(3)满足条件的点P的坐标为(2,0)或(4,3)．【分析】（1）利用矩形的性质求出OA，AD，可得结论；（2）分两种情形：如图1中，当点P在线段AB上时，如图2中，当点P在线段AD上时，分别构建方程求解；（3）当点P与A重合时，△POD的面积为3，此时P(2,0)，过点A作AP'∥OD交CD于点P'，此时OA【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，A(2,0)，C∴OA=2，∴D故答案为：(2,3)；（2）解：如图1中，当点P在线段AB上时，由题意，S△∴12∴x如图2中，当点P在线段AD上时，由题意，S△∴12∴x综上所述，满足条件的x的值为43或5（3）解：如图3中，当点P与A重合时，△POD的面积为3，此时P过点A作AP'∥OD交CD于点P'，此时OA∴P综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,0)或(4,3)．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【变式41】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点Aa,0．B0,b，a、b满足

(1)求出点A、B的坐标；(2)如图1，点C是线段AB上一点，若AC=2BC，求点C坐标．小军想到：可连接OC，此时将三角形OAB分成两个小三角形，而三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，从而求出点C坐标．请你根据小军的思路写出求解点(3)如图2，将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN（点A的对应点为M），线段MN与y轴交于点P．点E0,t是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出【答案】(1)A6,0．(2)C2,2，过程见(3)-4<t【分析】（1）根据非负数的性质得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可；（2）设点C的坐标为m,n，根据三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，以及三角形OAC的面积恰好是三角形OAB的三分之二，分别列出方程，求出m和（3）求出各点平移后的坐标，得到点C平移后在y轴上，即为点P，根据三角形MNE的面积小于3，列出不等式，解之即可．【详解】（1）解：∵2a∴2a解得：a=6∴A6,0，B（2）设点C的坐标为m,∵A6,0，B∴OA=6，OB∵AC=2∴三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，∴12解得：m=2同理：三角形OAC的面积恰好是三角形OAB的三分之二，∴12解得：n=2∴点C的坐标为2,2；（3）由平移可得：M4,-5，N而点C平移后的坐标为2-2,2-5，即0,-3，∴点C平移后在y轴上，即为点P，则P0,-3∴S△即12解得：-4<t<-2【点睛】本题考查了解二元一次方程组，坐标与图形，非负数的性质，点的平移，三角形的面积，解不等式，解题的关键是利用坐标表示三角形的面积，体现了数形结合的思想．【变式42】（2023春·吉林·八年级校联考期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(a，0)、(a，b)，点C在y轴上，且BC∥x轴，a、b满足|a－3|＋b-4=0，一动点P(1)直接写出点A、B、C的坐标；(2)在点P运动的过程中，连接PO，若PO把四边形ABCO的面积分成1：2两部分，求点(3)点P运动t秒后(t≠0)，是否存在点P到x轴的距离为12t【答案】(1)A(3,0),B(2)(3,83(3)(3,1)或(0,【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）证明四边形ABCO为长方形，求出面积，再分两种情况：当S△POA=4（3）分两种情况：点P在AB上运动和点P在OC上运动，根据点P到x轴的距离为12【详解】（1）解：由题意知，a，b满足|a∵|a∴a-∴a=3,∴A(3,0),B(3,4)（2）由题意可知，AB⊥x轴，∵BC∥∴四边形ABCO为长方形，∵B(3,4)∴S矩形∵PO把四边形ABCO的面积分成1:2的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当S△POA=4①当S△此时点P在AB上，点P的坐标为(3,2t∴S△∴t=∴2t∴点P的坐标为(3,8②当S△此时点P在BC上，点P的坐标为(10-2t∴S△∴t∴点P的坐标为(2,4)，综上可知，，点P的坐标为(3,83)（3）存在，理由如下：①当P在AB上运动时，AP=由（2）可知，AP=2∴.2t∴t=2∴AP=2∴点P的坐标为(3,1)，②当P在OC上运动时，OP=14-2∴14-2t∴t=∴OP=14-2∴点P的坐标为(0,14综上可知，点P的坐标为(3,1)或(0,14【点睛】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．【变式43】（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知点A-2，0，B0，-4，C-4，-6，过点C作x轴的平行线m，交y

(1)如图，当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF①填空；若∠OPD=60°，则∠②设a=∠OPD(2)若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为x①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP=6②求x和y的关系式．【答案】(1)①30°；②a的值为2．(2)①存在点P的坐标为P(0，2)；②x和y【分析】（1）①由x轴∥直线m可得∠AOP+∠OPD=180°，∠AOP=120°，由角平分线的定义得到②由角平分线的定义，可把∠EOP表示为45°+12∠DOP，因此∠EOD=∠（2）①由题意，经过t秒后，点P的坐标为(-4+t，-6+2t)，然后分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况求点P的坐标，进而求出②由①知x=-4+ty=-6+2t，消去t，即可得到x【详解】（1）解：①∵x轴∥直线m，∴∠AOP∵∠OPD∴∠AOP∵OE平分∠∴∠EOP∵OF∴∠EOF∴∠POF故答案为：30°②∵OE平分∠∴∠EOP∴∠EOD∵∠OPD∴a即a的值为2．（2）解：①存在符合题意的点P．由题意，经过t秒后，点P的坐标为(-4+t若点P在x轴上，则-6+2t=0∴P∵A-∴AP∴SABP若点P在y轴上，则-4+t=0∴P∴BP=6，故使得S△ABP=6的点P②由①知x=-4+由x=-4+t得代入y=-6+2t，得故x和y的关系式为y=2【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义以及消元等知识点，掌握相应的知识点是解答此题的关键．【题型5坐标系中角度之间的数量关系问题探究】【例5】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A，C坐标分别为-4,2，1,-4，且AD//x轴，交y轴于点M，（1）直接写出B，D两点的坐标，并求出长方形ABCD的面积．（2）一动点P从点A出发，以每秒12个单位长度的速度沿AB边向B点运动，在P点的运动过程中，连接MP，OP（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积等于长方形ABCD面积的13？若存在，求t的值以及此时点P【答案】（1）B（4，4），D（1，2），30；（2）见解析；（3）存在，t=10，P（4，3）【分析】（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（4，4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ//AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，则∠MPO=∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP∠PON；（3）由于AM=4，AP=12t，根据三角形面积公式得到S△AMP=t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的13可计算出t=10，则AP=5，然后根据点的坐标的表示方法写出【详解】解：（1）∵点A、C坐标分别为（4，2）、（1，4），而四边形ABCD为矩形，∴B（4，4），D（1，2）；矩形ABCD的面积=（1+4）×（2+4）=30；（2）当点P在线段AN上时，作PQ//AM，如图，∵AM//ON，∴AM//PQ//ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO=∠AMP∠PON；（3）存在．∵AM=4，AP=12t∴S△AMP=12×4×12t=∵三角形AMP的面积等于长方形面积的13∴t=30×13=10∴AP=12×10=5∵AN=2，∴P点坐标为（4，3）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．【变式51】（2023春·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A(a,0)，B(b,0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且a,b满足式子:a(1)求出点A、B、C的坐标．(2)连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．(3)若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD和∠EOQ之