专题138三角形中的边角关系命题与证明章末九大题型总结（培优篇）（沪科版）（原卷版）

专题13.8三角形中的边角关系、命题与证明章末九大题型总结（培优篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1确定第三边的取值范围】 1【题型2三角形的三边关系的应用】 1【题型3利用三角形的中线求长度】 2【题型4三角形的高与面积有关的计算】 3【题型5三角形的稳定性】 4【题型6三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】 5【题型7三角形的内角和与外角有关的计算】 6【题型8多边形内角和、外角和有关的计算】 8【题型9命题与证明】 9【题型1确定第三边的取值范围】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）一个三角形的3边长分别是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周长不超过39cmA．53<x<5 B．5<x≤8【变式11】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足b-2+(c-3)2【变式12】（2023春·河南郑州·八年级郑州中学校联考期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式13】（2023春·河南周口·八年级统考期末）三角形的三边长分别为2，2x-1，5，则x【题型2三角形的三边关系的应用】【例2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式21】（2023春·山东济南·八年级统考期末）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和3km，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【变式22】（2023秋·新疆和田·八年级统考期末）已经有两根木条，长分别是2cm和6cm，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【变式23】（2023春·北京西城·八年级统考期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是(6,0)和(4,4)．如图1，甲的游览路线是：O→B→A，其折线段的路程总长记为l1．如图2，景点C和D分别在线段OB,BA上，乙的游览路线是：O→C→D→A，其折线段的路程总长记为l2．如图3，景点E和G分别在线段OB,BA上，景点

A．l1=l2=l3 B．l1<l【题型3利用三角形的中线求长度】【例3】（2023春·云南·八年级云南师大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=（1）如图，当AC=10cm时，求（2）若AC=12cm，能否求出【变式31】（2023秋·全国·八年级期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式32】（2023秋·山东德州·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为24cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的长．【变式33】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线AB=9cm,AC(1)△ABE(2)AD的长度；(3)△ACE与△【题型4三角形的高与面积有关的计算】【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期末）在△ABC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面积为12，则线段【变式41】（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知△ABC(1)画出△ABC的三条高AD(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=3，CF=2，则【变式42】（2023春·上海宝山·八年级校考期中）如图，在△ABC

(1)画△ABC边AB上的高CD(2)E在CD上，连接BE，使得S△ABC=(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么点C到直线AB的距离为_______，△【变式43】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．图中各点均在格点上，请按以下要求画图．①所画顶点必须在格点上；②标清指定的字母；③不得出格．(1)在图甲中面出△ABC中BC边上的高AD(2)在图乙中画出一个Rt△EBC，且△EBC的面积是图甲中△(3)在图丙中画出一个锐角三角形△MBC，且面积为15【题型5三角形的稳定性】【例5】（2023秋·北京·八年级校考期中）下列图形中不具备稳定性的是（

）A． B．C． D．【变式51】（2023秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性【变式52】（2023秋·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（

）A．4 B．2 C．1 D．3【变式53】（2023春·广东惠州·八年级统考期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求：（1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案．（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用．（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是．【题型6三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【变式62】（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式63】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线（1）若∠A=40∘，（2）若∠A=α，∠B=β，求（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠【题型7三角形的内角和与外角有关的计算】【例7】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC

【特殊化思考】若∠A（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图

【一般化探究】若∠A（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD【变式71】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知，CD∥AB，点E在BD延长线上，且∠BEF=70°，点H在AB上，HF交

(1)求证：∠AHF(2)若∠AHF-∠CDE【变式72】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，AE是角平分线，

(1)若m=90时，如图所示，求证：∠(2)若m≠90时，试问∠CFE=∠CEF还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较【变式73】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE

(1)如图1，当DE∥AC(2)若∠C=∠B+10°，①如图2，当DE⊥BC时，求②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，求x【题型8多边形内角和、外角和有关的计算】【例8】（2023秋·河北邢台·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°．(1)求这个多边形的边数；(2)如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________．【变式81】（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．（1）求这个多边形的边数和内角和；（2）从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为，此时多边形中有个三角形．【变式82】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）按要求完成下列各小题．(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．(2)如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF【变式83】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）在五边形ABCDE中，∠A=130∘，(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；(2)如图②，若∠C比∠D小40°，求出(3)如图③，若CP，DP分别平分∠BCD与∠CDE的外角，试求出【题型9命题与证明】【例9】（2022春·北京通州·七年级统考期末）手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：工序时间模型打磨（A组）组装（B组）模型19分钟5分钟模型26分钟11分钟则这两个模型都制作完成所需的最短时间为分钟．【变式91】（2023春·广西玉林·七年级统考期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥其中真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式92】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时