专题114有理数章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题1.14有理数章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1数轴中的新定义问题】 1【题型2数轴中的动点问题】 8【题型3绝对值中的最值问题】 14【题型4分类讨论多绝对值问题】 19【题型5有理数中的规律探究】 22【题型6有理数中的对折问题】 29【题型7幻方的应用】 34【题型8有理数的实际应用】 38【题型1数轴中的新定义问题】【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为-6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则是[，]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）(2)若点M、P表示的数分别为-4、-2，且P是M,N的美好点，则点(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为-10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P【答案】(1)M，P，N(2)−6或2(3)119或97或359【分析】（1）先求出点M到点P和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；（2）设点N表示的数为n，得到点P到点M和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；（3）分三种情况讨论：①当0<t<114时，此时点Q第一次从B点出发向左匀速运动；②当114≤t<112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动；③当【详解】（1）解：点M、N、P表示的数分别为3、6、7，∴点M到点P的距离是4，到点N的距离是3，∵4+3×2=10，∴点M是P,故答案为：M，P，N;（2）解：设点N表示的数为n，∵点M、P表示的数分别为-4、-∴点P到点M的距离是2，到点N的距离是n∵点P是M,∴2+2n∴n=-6或（3）解：①当0<t<114时，此时点根据题意得：点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为∵点C表示的数为2，∴CP=2--∵点C恰好为P,∴12-2t当0<t<5解得：t=当54≤t解得：t=②当114≤t<11根据题意得：点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为∵点C表示的数为2，∴CP=2--∵点C恰好为P,∴12-2t当114<t解得：t=当174≤t解得：t=③当112≤t≤6时，此时点点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为∴CP=2--∵点C恰好为P,∴12-2t解得：t=综上可知，当t值为119或97或359或337秒时，点【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，动点问题，正确理解美好点的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．【变式11】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2(1)2⊗6=______，-ππ(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3【答案】(1)-20072(2)2023(3)-【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出-π（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n【详解】（1）解：∵a⊗∴2⊗6=∵-π∴-ππ故答案为：-20072，（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n∴2n∴n=-3∴m=2×-3∴m+n∴m⊗m+【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．【变式12】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数-3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A(2)点A表示数-10，点B表示数5，P①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．【答案】(1)C1，(2)①-25；②20或35或【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，B的“联盟点∴根据-1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB∴x+3=2|x当x+3=2|x-3|当|x-3|=2x+3∴C1，C3是点A，故答案为：C1，C（2）①设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，∴PA＜PB，PA=-10-∵点P是点A，B的“联盟点∴PB=2∴2-解得a=-25即P点表示的数是-25②设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，当P是点A，B的“联盟点”时，∴b+10=2解得b=20当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2∴b+10=2×15解得b=20当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或∴b-5=2×15或解得b=35或b综上所述：P点表示的数为20或35或12.5．【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．【变式13】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为(1)直接写出A、(2)若点C是A，B的三倍点，求点(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、【答案】(1)点A表示的数为-1，点B表示的数为(2)点C表示的数为2或5(3)存在，-13或-73或【分析】（1）根据数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点A表示的数，根据点B在原点的右边，且到点A的距离为4可得出点B表示的数；（2）设点C表示的数为a，根据题意可得a-（3）分四种情况：①若点A是C，B的三倍点；②若点A是B，C的三倍点；③若点B是C，A的三倍点；④若点B是A，【详解】（1）解：∵数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，∴点A表示的数为-1∵点B在原点的右边，且到点A的距离为4，∴点B表示的数为3；（2）解：设点C表示的数为a，由题意可得a-a+1=±3解得a=2或a点C表示的数为2或5；（3）解：存在．假设存在点C为b，满足题意，①若点A是C，由题意可得，-1-解得：b=-13点C为-13②若点A是B，由题意可得，3-解得：b=-点C为-7③若点B是C，由题意可得，3-b解得b=-9点C为-9④若点B是A，由题意可得，3--解得b=点C在点A的左边，即b<-1因为53所以不符合题意；⑤若C是B，由题意可得，3-b解得b=-3故点C表示的数为-13或-73或-9或【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理解“三倍点”的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．【题型2数轴中的动点问题】【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18，8大于-18，用

(1)填空：AB=______，BC=(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含【答案】(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t或-t+12【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．【详解】（1）解：AB=-8--18（2）解：不变，因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是-18-t，-8+4所以：BC=8+9t--所以：BC-所以BC-AB的值不会随着时间（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是-18+t，当点Q追上点P时，-18+解得：t=12①当0<t≤6时，点Q在还点所以：PQ=②当6<t≤12时，点P在点所以：PQ=-18+③当12<t≤19时，点Q在点所以：PQ=-18+2综上所述，P、Q两点间的距离为t或-t+12或【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．【变式21】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.①若点P和点Q相遇于点C,求点C在数轴上表示的数；②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.【答案】（1）a=-20，b=40；（2）①20；②t=7.5【分析】(1)由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；(2)①t秒后P点表示的数为：-20+4t，t秒后Q点表示的数为：40-2t，根据t秒后P点和Q②分当P和Q未相遇时相距15个单位及当P和Q相遇后相距15个单位列式子即可得出答案．【详解】解：（1）由题意中绝对值和偶次方的非负性知，a+20=0且b解得a=-20，b=40故答案为：a=-20，b（2）①P点向右运动，其运动的路程为4tt秒后其表示的数为：-20+4Q点向左运动，其运动的路程为2tt秒后其表示的数为：40-2t由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一个数，∴-20+4t=40-2t解得∴此时C在数轴上表示的数为：-20+4×10=20.故答案为：20.②情况一：当P和Q未相遇时相距15个单位，设所用的时间为t故此时有：4解得t1情况二：当P和Q相遇后相距15个单位，设所用的时间为t故此时有：4解得t2=12.5故答案为：t=7.5或12.5【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．【变式22】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?

【答案】（1）A、B位置见解析，A、B之间距离为30；（2）2或6；（3）第20次P与A重合；点P与点B不重合．【分析】（1）点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B表示的数，再根据平移的过程得到点A表示的数，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，得到方程，求解即可；（3）根据第一次点P表示1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为3，4，5，6…，找出规律即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，∴点B表示的数为10，∵将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，∴点A表示的数为20，∴数轴上表示如下：

AB之间的距离为：20（10）=30；（2）∵线段OB上有点C且BC=6∴点C表示的数为4，∵PB=2设点P表示的数为x，则x+10解得：x=2或6，∴点P表示的数为2或6；（3）由题意可知：点P第一次移动后表示的数为：1，点P第二次移动后表示的数为：1+3=2，点P第三次移动后表示的数为：1+35=3，…，∴点P第n次移动后表示的数为（1）n•n，∵点A表示20，点B表示10，当n=20时，（1）n•n=20；当n=10时，（1）n•n=10≠10，∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．【变式23】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t【答案】(1)100；1400；1600(2)754秒或85(3)58秒或175(4)2675【分析】（1）先求出a、（2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；（3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；（4）确定M、【详解】（1）解：∵a∴a+100=0，c-∴a=-100，c=1500，∵甲、乙两动车长度相等∴b=-100+(1700-1500)=100BC=1500-100=1400（米）AC=1500-(-100)=1600故答案为：100，1400，1600；（2）解：1600-100=1500（米），1600+100=1700（米）1500÷80=751700÷80=85答：甲动车行驶754秒或854秒时，，点M到点C的距离等于（3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）200-150=50（米）50÷80=58当点M在点C右侧时；1700-1400=300（米）300÷2=150（米）1600+150=1750（米）1750÷80=175答：甲动车行驶58秒或1758秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于（4）解：存在；乘客M到达点B的时间为：200÷(80+2)=10041乘客M到达点C的时间为：1600÷(80+2)=800乘客N到达点C的时间为：(1600-1500)÷80=5乘客N到达点B的时间为：(1600-100)÷80=7510041>5754故t的值为：2675164【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键．【题型3绝对值中的最值问题】【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作|-5-0|=|-5|=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-(-2)|=|-3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b回答下列问题：(1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是(2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________(3)①找出所有使得|x+1|+|x②求|x【答案】(1)5，5(2)3，-(3)①-1，0，1，2．

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得A，B之间的距离为x+2；当AB=5时，即（3）①从数轴上可以看出只要x取-1和2之间的数（包括-1，2）就有|x②对x进行讨论，可得|x【详解】（1）表示-3和2的两点之间的距离是|-3-2|=5表示-2和3的两点之间的距离是|-2-3|=5故答案为：5，5；（2）由题意可得，x+2∴x+2=5或x∴x=3或x故答案为：3，-7（3）①从数轴上可以看出只要x取-1和2之间的数（包括-1，就有|x+1|+|x②对x进行讨论：当-3<x<1当x≤-3时，|当x≥1时，综上，|x+3|+|x【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．【变式31】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|【答案】（1）5；（2）0.5；（3）1或5；（4）13【分析】（1）先确定原点，再求点C表示的数；（2）先确定原点，再求点A表示的数；（3）根据题意得到点B表示的数，再分点F在点B左侧和右侧分别得出结果；（4）理解题意，将各个点作为原点分别求解，再比较即可．【详解】解：（1）∵A、B表示的数的绝对值相等，且AB之间距离2个单位，∴点A表示的数为1，点B表示的数为1，∴点C表示的数为5；（2）∵点B，D表示的数是互为相反数，且BD之间距离5个单位，∴点B表示的数为2.5，点D表示的数为2.5，∴点A表示的数为0.5；（3）∵点A表示原点，∴点B表示的数为2，∵BF=3，∴点F表示的数为1或5；（4）由题意可得：在数轴上找一点作为原点，使得该点到A、B、C、D、E的距离之和最小，当点A为原点时，a=0，b=2，c=6，d=3，e=2，s=|a当点B为原点时，a=2，b=0，c=4，d=5，e=4，s=|a当点C为原点时，a=6，b=4，c=0，d=9，e=8，s=|a当点D为原点时，a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，s=|a当点E为原点时，a=2，b=4，c=8，d=1，e=0，s=|a综上：s的最小值为13．【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟记数轴的特点，理解数轴上两点之间的距离．【变式32】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a-b，若(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m-2(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a-d=12， (4)若b=a，c=【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由题意可知，a-（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到m-2+m+5表示点P到2（3）由题意得到 a-c=AC（4）由题意可得b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，∴a-∴a+2=3或a解得a=1或a故答案为：1或﹣5；（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴m-2+m+5表示点P∵-5-2∴m-故答案为：7；（3）∵ a-c∴ b故答案为：4（4）∵b=∴b==a根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，只能取a=1当a=1时，a此时原式＝1-1＝54，故答案为：54．【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．【变式33】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5-0，即5-0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5--3表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果A、B两点之间的距离为2，那么x=（3）x+2可以理解为数轴上表示x和（4）x-2+x-3可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．x+2（5）x-2+x-3最小值是【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或3；（3）2；（4）2，3，2，1；（5）1，3【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；（5）分别得出x-2+【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和3的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或3；（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和2的两点之间的距离；（4）|x2|+|x3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，|x+2|+|x1|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和1这两点的距离之和；（5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x2|+|x3|最小值是1，当x在2和1之间时，|x+2|+|x1|的最小值是3．【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与2的距离），即可求解．【题型4分类讨论多绝对值问题】【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aaA．2 B．–2 C．1 D．0【答案】C【详解】∵当a>0时，aa=aa当b>0时，bb=bb∴