专题07椭圆的标准方程与几何性质六种考法

专题07椭圆的标准方程与性质六种考法目录TOC\o"13"\h\z\u解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、椭圆的定义…………………2类型二、椭圆标准方程中的参数 3类型三、焦点三角形 5类型四、对称性 8类型五、离心率 10类型六、与其他章节融合…………………13压轴能力测评（10题） 17椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。2.椭圆标准方程中的参数确定椭圆的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。3.焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧；常见结论：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．4.对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点过椭圆中心的直线与椭圆相交的两点坐标互为相反数；平行于x轴的直线与椭圆相交的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；平行于y轴的直线与椭圆相交的两点纵坐标互为相反数，横坐标相等；5.离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)6.与其他章节融合与三角形、不等式以及平面向量等章节融合。类型一、椭圆的定义例．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.【变式训练1】已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为.【答案】【解析】由已知可得为椭圆的焦点，根据椭圆定义，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：25【变式训练2】设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解．【详解】由椭圆的定义知∴的周长为，∴当最小时，最大．当轴，即AB为通径时，最小，此时，∴的最大值为．故选：B．类型二、椭圆标准方程中的参数例．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得.故选：D.【变式训练1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，则由椭圆的对称性可知，由，设，则.又轴，所以，即，所以，解得.所以的长轴长为.故选：B【变式训练2】设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，此时，，即，又，∴，解得，又，∴.故选：A.类型三、焦点三角形例．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【变式训练1】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

【变式训练2】（多选）椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】椭圆：，则，所以，又，所以点再椭圆上，连接，

则，故A不正确；由椭圆的定义可得，又的内切圆圆心为，所以内切圆半径，由于，所以，故，故C正确；又，所以则，所以，故D正确；又，所以，又，所以，即，故B正确.故选：BCD.类型四、对称性例．（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（

）A．的最小值为4 B．为定值C．存在点，使得 D．【答案】BCD【分析】求出可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点可判断C；求出可判断D.【详解】对于A，由椭圆的方程可知，所以焦点，设，则，，因为在椭圆上，所以，，即，A错误；对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点，使得，故C正确；对于D，设，则，则，故D正确．故选:BCD．【变式训练1】已知椭圆的左右焦点为．直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为．【答案】【详解】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则，由，得，因为，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即椭圆的离心率.故答案为：.【变式训练2】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．【详解】由对称性，又，则，所以，，又，则，椭圆标准方程为．故选：B．类型五、离心率例．设椭圆的左､右焦点分别为，直线交椭圆于点，，若的周长的最大值为16，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，的周长等于，而，当且仅当三点共线时取等号，则，因此当直线过点时，的周长取得最大值，即，解得，所以的离心率，故选：C【变式训练1】已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c，由及，得，显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号，因此，即，又，则，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A【变式训练2】P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设，，延长交于A，由题意知，O为的中点，故为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，即，代入得，即，由所以，所以，.故选：C.【变式训练3】已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率．【答案】【详解】根据已知条件有，有正弦定理面积公式有：，又，所以，设的外接圆半径为，内切圆半径为，因为为椭圆上一点，则，又，以的三边为底，内切圆半径为高的三个三角形面积和等于面积，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，即，所以，即，即，两边同除以，得，又，解得.故答案为：类型六、与其他章节融合例．已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】取BC的中点M，设，，，，则．∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得，即，∴．∵，∴，连接OM，则，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的离心率.故选：D．【变式训练1】（多选）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则（

）A．a，b满足 B．的最大值为C．存在点P，使得 D．【答案】ABD【分析】A选项，根据离心率得到；B选项，设，，故，计算出；C选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不等式得到点P在短轴端点时，最大，且此时，故C错；D选项，法一：设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到结论；法二：利用椭圆的第二定义进行求解.【详解】A选项，因为C的离心率，所以，，解得，故A对；B选项，由题意得，设，则，，因为，，所以，，则，故B对；C选项，设，，，，则，当且仅当时，等号成立，由于在上单调递减，当点P在短轴端点时，最大，且此时，故此时，故C错；D选项，法一：直线方程为，即，与椭圆方程联立得，因为，所以，，故，故D对.法二：据椭圆第二定义易知：，其中，即，解得，同理可得.所以成立，故D对.故选：ABD【变式训练2】（多选）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（

）A．椭圆C的中心不在直线上B．C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D．椭圆C的离心率为【答案】ACD【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；椭圆长轴长，过作于D，连，显然四边形为矩形，又，则，过作交延长线于C，显然四边形为矩形，椭圆焦距，故B错误；所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；所以椭圆的离心率，故D正确；故选：ACD.1．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直线的方程，由点到直线的距离可得，再由的周长为16可得，解方程可求出，即可得出答案.【详解】由题意，得，，，则直线的方程为，所以点A到直线的距离①．由的周长为16，得，即a+c=8②，联立①②，解得③．因为，所以④．联立②④，解得a=6，c=2，所以，故椭圆E的标准方程为是.故选：B．2．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（

）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）【答案】C【分析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0），且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以．故选：C．3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知可得三角形是以点P为直角顶点的三角形，设出，根据椭圆的定义求出m，再根据三角形为等腰直角三角形即可求解.【详解】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，连接，则.设，由于，所以，，根据椭圆的定义可知，，所以，所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得.由题意知，又，所以，所以的标准方程为，故选：A.4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积.【详解】解：因为，所以，设，，在中，由余弦定理得，即，所以，根据椭圆定义有：，所以，所以，因为，因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，因为，所以，所以直线，联立，可得，显然，则，因为，所以，所以．故选：C5．（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（

）A．的离心率为 B．的周长为12C．的最小值为3 D．的最大值为16【答案】BD【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A，利益椭圆的定义求出焦点三角形周长判断B，举反例判断C，利用基本不等式求最大值判断D即可.【详解】由椭圆得则所以，故A错误;易知的周长为故B正确；当在椭圆长轴的一个端点时，取得最小值，最小值为，故C错误；由基本不等式得，当且仅当时取等，则取得最大值16，故D正确.故选：BD.6．（多选）已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.【答案】ABC【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可【详解】由椭圆可得，则，对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为所以，所以A正确，对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，故选：ABC7．设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.【答案】【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率【详解】设，则，，，.，在中，由余弦定理得，，，化简可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，椭圆的离心率，故答案为：8．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为．【答案】/【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T，所以，所以，即，所以．由椭圆的第二定义可知，所以，所以，由等面积法得到，所以．因为，所以，所以，即．故答案为：9．已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且PF1F