专题45角中的四种常见思想方法（沪科版）

专题4.5角中的四种常见思想方法【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对角中的四种常见思想方法的理解！【题型1数形结合思想】1．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（）A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变【答案】A【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，此时入射光线与反射光线的夹角为60°．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．故选：A．【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．2．（2023上·吉林·七年级统考期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝度．【答案】85【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解．【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向∴∠AOB＝180°41°54°＝85°故答案是：85．【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解．3．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出∠AOB=75°(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；①设计用一副三角尺画出105°角的画图方案，并画出相应的几何图形；②用一副三角尺能画出145°的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在图中画出∠MON的角平分线OP(3)如图，现有19°、23°、29°角的三种模板，∠ABC=19°，小冬想出了一个方案，利用19°角模板画出1°角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将∠ABC的顶点B与点O重合，BC边与射线ON重合，如图所示，将∠ABC绕点O逆时针旋转19°，得∠A1B1C1，再将∠A1B1C1绕点请从23°或29°角模板中选一个你认为能画出1°角的模板，设计一个方案，并说明理由．(4)对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出1°【答案】(1)①见解析；②不能(2)见解析(3)选用23°，理由见解析(4)不一定能，理由见解析【分析】（1）①用一副三角尺画出105°角的画图方案，用含60°，45°②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；（2）根据题意设计一个15°，一边与射线ON重合，另一边即为角平分线OP，（3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解；（4）根据角度的四则运算进行判断即可求解．【详解】（1）解：①用一副三角尺画出105°角，如图所示，∠②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数，∴用一副三角尺能不能画出145°的角，故答案为：不能．（2）解：如图所示，（3）选用23°，用23°的角旋转15次，则23°×15=345°，与360°差再旋转16次，得到23°×15+16=713°再旋转16次，得到23°×15+16+16=∴∠ABC绕点O逆时针旋转23°，得∠再将∠A1B1C得∠A2B2C2可得1°的角，即：23°×47-360°×3=1081°-1080°=1°．（4）对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出1°例如，n=2°，此时无论如何旋转，都不能得到1°【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键．4．（2023上·江苏盐城·七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．实验准备：机械钟（手表）一只实验内容与步骤：观察与思考：（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）操作与探究：（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？拓展延伸：一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1）1211，22；（2）311，44；拓展延伸：22，【详解】解析:试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;操作与探究：(1)①设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360°列出方程即可得出答案；②设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.解：观察与思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作与探究：（1）设经过x小时时针与分针再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵时针与分针每经过x=1211∴24÷1211=22答：1211时时针与分针再次重合．一天24小时中，时针与分针重合22（2）设经过y小时钟面角第一次为90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每经过x=1211时针与分针重合一次，而钟面角为90°∴24÷1211×2=44答：12311时钟面角第一次为90°．一天24小时中，钟面角为90°44拓展延伸：由2可得：一天24小时中，钟面角为180°有22次，钟面角为n°（0＜n＜180）44次．故答案为22；44．点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.5．（2023上·宁夏银川·七年级统考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出，OA2，OA3，其中(2)若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出O(3)若α＜36°，且∠A2OA【答案】(1)45°(2)α＝（72029）(3)（207）°或（34013）°或（380【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可，并画图；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）分三种情况讨论，根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可．【详解】（1）解：如图1，当α=35°，则∠∴∠A∴∠A∴∠A（2）解：如图5所示．∵α∴∠A0O∵OA4∴2(180°-6α解得：α=（3）解：分三种情况：①OA4和OA3都不从3αα=②OA4在OA根据题意得：4αα=③OA4在OA根据题意得：4αα=综上，对应的α值是207°或34013故答案为：207°或34013【点睛】本题主要考查角度的计算和旋转的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．6．（2023上·湖南长沙·七年级长沙麓山国际实验学校校考期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，定义A，B，C，D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转：(1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且∠AOC=∠BOC(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为50°/s，OB旋转速度为25°/s，当①运动停止时，直接写出∠AOD=②请帮助乐乐求解运动过程中∠AOC与∠【答案】(1)90(2)正确，代数式的值为56(3)①105°；②当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出∠AOC+∠BOD（2）由∠AOD:∠BOC=6:5，设∠AOD（3）①算出运动停止时的时间，求出OA运动的角度，进而求出∠AOD的度数；②由OA的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴∠AOC∵∠AOC∴∠AOC故答案为：90；（2）∵∠AOD设∠AOD=6α∴∠AOC=180°-∠BOC∴∠AOC∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为56（3）解：∵∠COD∴∠COE=∠EOD设运动时间为ts，则t=75°÷25°=3，则①运动停止时，即t=3时，OA旋转的角度为50°×3=150°∴∠AOD故答案为：105°；②当点C，O，A三点共线时，t=∴当0≤t≤2.1时，∠AOC∴∠AOC当2.1<t≤3时，∠BOE∴∠AOC综上，当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键．7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，点C是位于直线AB上方的一点，且∠BOC=20°，将一个含60°三角板（∠POQ=60°）顶点放在点O处，一边OP与射线OA重合，点Q在直线AB的上方．（1）∠QOC=°（2）如图2，现将图1位置中三角板△OPQ绕点O沿顺时针方向每秒转动8°，射线OC绕点O沿逆时针方向每秒转动12°，设转动的时间为t秒，当点Q、点C有一点位于直线AB上时，转动停止．①当线段OQ与射线OC重合时，求t的值；②当t=时，OP⊥OC．【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5【分析】（1）根据角的和差关系，直接求出∠QOC的度数，即可；（2）①根据题意，列出关于t的一元一次方程，即可求解；②分两种情况：第一次OP⊥OC时，第二次OP⊥OC时，分别列出关于t的一元一次方程，即可求解．【详解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，∴∠QOC=180°20°60°=100°，故答案是：100；（2）①设过t秒，线段OQ与射线OC重合，则12t+8t=100，解得：t=5，②第一次OP⊥OC时，∠QOC=90°60°=30°，则12t+8t=10030，解得：t=3.5；第二次OP⊥OC时，∠QOC=90°+60°=150°，则12t+8t=100+150，解得：t=12.5，综上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，故答案是：3.5或12.5【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差的综合应用，根据角的和差关系，列出方程，是解题的关键．【题型2分类讨论思想】1．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知∠AOC

(1)试说明：∠AOB(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠(3)在（2）的条件下，作射线OF，OG，当∠BOF=∠DOF，∠【答案】(1)见解析(2)40°(3)图见解析，∠AOG的度数是83°或122°或128°或【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；（2）观察图形中角之间的位置关系，得∠COE=∠COD（3）由∠BOF=∠DOF，分情况：①OF在∠BOD内部：由∠FOG=3∠EOG，进一步分情况讨论，OG在∠EOF内部或OG在∠EOF外部，②OF在∠【详解】（1）解：∵∠AOC∠AOB∠COD∴∠AOB（2）由（1）可知，∠AOB∵∠DOE∴∠COE∵OC平分∠∴∠BOC∴∠BOC的度数是40°（3）∠AOG的度数是83°或122°或128°或38°理由如下：如图1，∵∠AOE∵∠BOD∴∠BOF

∵∠EOF又∵∠FOG∴∠EOG∴∠AOG如图2，∵∠FOG

即∠EOF又∵∠EOF∴∠EOG∠AOG

如图3，∵∠BOF∴∠EOF又∴∠FOG∠EOG∠AOG如图4:∵∠FOG∴3∠EOG

∠EOG∠AOG综上所述，∠AOG的大小为83°或122°或128°或38°【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC,OD，使得

(1)如图一，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的角平分线，若∠COE=25°时，则∠DOE=________°(2)如图二，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠①若∠AOC=50°，求②若∠AOC=α0°<α(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，则【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根据∠DOE=∠COD-∠COE求出∠（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出∠COE，∠②同①法，进行计算即可；（3）分OF在∠EOD内部和OF在∠【详解】（1）解：∵∠COD=90°，∴∠DOE∵OE为∠AOD∴∠AOE∴∠AOC故答案为：65°，（2）①解：∵∠AOC=50°，∴∠BOD又∵OE为∠AOC的角平分线，OF为∠∴∠COE=1∴∠EOF②∵∠AOC=α∴∠BOD又∵OE为∠AOC的角平分线，OF为∠∴∠COE=1∴∠EOF故答案为：135°；（3）①当OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC②当OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC综上：∠AOC的度数是35°或55°故答案为：35°或55°．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．3．（2023下·上海长宁·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、【答案】(1)20°(2)当旋转角度α为40°时∠COB是∠(3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式120°-（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．【详解】（1）解：如图1，∵∠AOB=70°，∠COD

∴∠COD∵∠AOC∴∠BOD故答案为：20°．（2）解：如图2，由旋转可知，∠AOC

∴∠BOC=120°-α∵∠COB是∠∴∠COB=1解得，α=40°（3）解：能，理由如下：由旋转可知，∠AOC①当射线OC在∠AOB内，如图4

此时，∠BOC=30°-5°t则∠COB是∠∴∠COB=1解得t=2（秒)②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6如图5，此时，∠BOC=5°t

则∠COB是∠∴∠COB=1解得t=18（秒)如图6，此时，∠BOC=360°-5°t

则∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=54（秒)③当射线OD在∠AOB内，如图7

此时，∠BOC=360°-5°t则∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=70（秒)综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：2秒；18秒；54秒；70秒．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．4．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）已知∠AOB与∠COD互补，将∠COD(1)若∠①如图1，当∠COB=30°时，∠AOD②将∠COD绕点O逆时针旋转至∠AOC=3∠BOD，求(2)将∠COD绕点O逆时针旋转α°(0<α【答案】(1)①150；②∠COB=20°，∠AOD=130°(2)不改变，其度数为180°【分析】（1）①先根据∠AOB=110°,∠COD=70°求出②设∠AOC=x°，分两种情况：(Ⅰ)OB在∠COD内部，（2）设∠AOB【详解】（1）①∵∠AOB∴∠AOB∵∠AOB+∠COD∴∠AOD故答案为150；②(Ⅰ)当OB在∠COD内部时（如图1设∠AOC=x∠BOD由∠AOC=3∠BOD解得x=60∴∠COB∴∠AOD(Ⅱ)当∠COD在∠AOB内部时（如图设∠AOC=x由∠AOC=3∠BOD解得x=30∠BOD∠COB∴∠AOD（2）不改变，其度数为180°．设∠AOB=β分四种情况：ⅰ)当OB在∠COD内部时（如图3∠COB∠BOD∠AOD∴∠AODⅱ)当∠COD在∠AOB内部时（如图∠COB∠AOD∴∠AODⅲ)当OA在∠COD内部时（如图5∠COB∠AOD∴∠AODⅳ)当∠COD在∠AOB外部时（如图∠=360°-180°=180°；综上所述，在旋转过程中，∠AOD+∠COB【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．5．（2023上·江苏南通·七年级校联考期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，则称射线PQ

(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是；（填序号）(2)如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边(3)已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB=α【答案】(1)