专题75探索平行线的性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题7.5探索平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【例1】（2015·七年级课时练习）如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．

【答案】【分析】先利用，求出，再利用平行线的性质求出即可．解：标记如下图所示：

∵，，∴又∵，∴，∵，∴．【点拨】本题考查平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式1】（2023下·河南开封·七年级校联考阶段练习）如图，在三角形中，平分，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的判定定理可得，由平行线的性质可得，由平分线的定义可得，即得的度数．解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为．【答案】/14度【分析】由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据角的关系即可解答．解：由题意可知，，由含角的三角板的特点可知：，，故答案为：．【点拨】本题考查平行线的性质，含角的三角板中的角度计算，掌握平行线性质是解题关键．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2021上·八年级课时练习）已知：如图，，．求证：BD平分．【答案】证明见分析．【分析】先利用平行线的性质得到，加上，则利用等量代换得到，于是可判断BD平分．解：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）．又∵（已知），∴（等量代换）．∴BD平分（角平分线的定义）．【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式1】（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论．解：如图，

，，，，，，故选A．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式2】（2023上·七年级课时练习）如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是．

【答案】平分（答案不唯一）【分析】根据内错角相等，两直线平行，当时，，由于，易得要平分．解：当时，，而，所以需平分，即添加的条件是平分．故答案为：平分（答案不唯一）．【点拨】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）已知，点在直线与之间，连接．

（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，求证∶．【答案】（1）；（2）见分析【分析】（1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质及角的和差求解即可．解：（1）如图1，过点E作，

∴，∵，，∴，∴，∵，∴∵，∴；（2）如图2，过点E作，

∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．解：如图所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．【变式2】（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）如图，，分别与，相交于点和点，平分，且，则．【答案】/80度【分析】本题考查了平行线的性质，根据，可得；由角平分线可得，据此即可求解．解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案为：【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知的平分线交于点F．探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】，见分析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C作直线，然后证明，根据平行线的性质可得，，进而可得，同理可得，再根据角平分线的性质可得，，等量代换可得答案．解：过点C作直线，

∵，∴，∴，，∴，∴，同理，∵的平分线交于点F，∴，∴．【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，则下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】略【变式2】（2023下·七年级课时练习）如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是．【答案】【解析】略【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2019下·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，分别在的三条边上，，．（1）试说明：；（2）若，平分，求的度数．【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）根据角平分线定义和平行线的判定与性质即可求出结果．（1）解：，，，，；（2）解：，平分，．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．【变式1】（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．【变式2】（2021下·上海浦东新·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．【答案】60°/60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠ABC的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠ABC的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2012上·广西·七年级阶段练习）看图填空：已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．证明：______，______________________________又__________________【答案】已知；对顶角相等；等量代换；；；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据已知条件及对顶角相等求得同位角，从而推知两直线，所以同位角；然后由已知条件推知内错角，所以两直线．解：已知，，对顶角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．【变式1】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，在三角形中，已知，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互余．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断．解：①，；所以①正确；②，，，，；所以②正确；③，；所以③正确；④，，，；所以④正确；⑤．，与互余．所以⑤正确．其中正确的有①②③④⑤5个．故选：D．【变式2】（2012下·湖北黄石·七年级统考期中）完成下面推理过程：如图，已知，，可推得．理由如下：∵（

），且（___________），∴（等量代换），∴（__________），又∵（已知），∴__________（__________），∴（__________）．【答案】已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，，等量代换，两直线平行内错角相等．【分析】利用两直线平行，同位角相等，对顶角相等，内错角相等两直线平行等进行等量代换和判定．解：∵（已知），且（对顶角相等），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行），∴（两直线平行内错角相等）又∵（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，，等量代换，两直线平行内错角相等．【点拨】．本题考查了平行线的性质和判定，解题关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理并灵活运用．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2020下·湖南益阳·七年级统考期末）如图，已知直线m//n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：；（2）如果A，B，C为三个定点，点P在直线n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有．理由是：．【答案】（1）与、与、与；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见分析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．解：（1）设平行线m与n之间的距离为h则和的边CP上高均为h，和的边AB上高均为h由同底等高得：与的面积相等，与的面积相等又，即与的面积相等故答案为：与、与、与；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式1】（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．解：∵直线，∴点M到直线的距离不会随点M的移动而变化，故③正确；∵，的长随点M的移动而变化，∴的周长会随点M的移动而变化，的大小会随点M的移动而变化，故①④错误；∵点M到直线的距离不变，的长度不变，∴的面积不会随点M的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M的移动而变化的是①④．故选：C．【点拨】本题